Нильпотентная группа

Нильпотентная группа — естественное обобщение понятия абелевой группы.

Нильпотентные группы встречаются в теории Галуа, а также в работах по классификации групп. Они, кроме того, играют заметную роль в классификации групп Ли. Аналогичные понятия определяются для алгебр Ли.

Определение

Нильпотентная группа ― группа $G$, обладающая центральным рядом от $G_{0}=\{e\}$ до $G_{n}=G$ конечной длины.

Связанные определения

• Длина наиболее короткого центрального ряда нильпотентной группы называется её классом (или ступенью) нильпотентности.
  • Все нильпотентные группы класса нильпотентности не больше $n$ образуют многообразие, определяемое тождеством

    $[\ldots [[x_{0},\;x_{1}],\;x_{2}],\;\ldots ,\;x_{n}]=1.$

  • Свободные группы этого многообразия, то есть группы удовлетворяющие только таким соотношениям называются свободными нильпотентными группами.

Свойства

• В любой нильпотентной группе нижний (а также верхний) центральный ряд обрывается на единичной подгруппе и имеет длину, равную классу нильпотентности группы.
• Конечные нильпотентные группы исчерпываются прямыми произведениями $p$-групп.
• В любой нильпотентной группе элементы конечных порядков образуют подгруппу, факторгруппа по которой не имеет кручения.
• Конечно порожденные нильпотентные группы без кручения исчерпываются группами целочисленных треугольных матриц с единицами на главной диагонали и их подгруппами.
• Конечно порожденные нильпотентные группы являются полициклическими группами, более того, они имеют центральный ряд с циклическими факторами.
• Любая конечно порождённая нильпотентная группа без кручения является решёткой в односвязной нильпотентной группе Ли.

См. также

• Разрешимая группа