Нотация анализа

Нотация анализа — система математических обозначений, применяемая в математическом анализе, при этом различные математические школы применяют различные обозначения для производной функций или переменных. Использование той или иной нотации зависит от контекста, и одно обозначение может оказаться удобнее других в конкретном случае. Наиболее общеупотребительна нотация Лейбница, также широко используются нотации Лагранжа, Эйлера, Ньютона.

Нотация Лейбница

dy

dx

d²y

dx²

Первая и вторая производные от y по x в нотации Лейбница.

Основная статья: Нотация Лейбница

Оригинальная нотация, использованная Готфридом Вильгельмом Лейбницем, сплошь используется математиками. Она особенно удобна, когда выражение $y=f(x)$ рассматривается как функциональная связь между переменными $y$ и $x$. Нотация Лейбница делает эту связь явной путём записи производной как

${\frac {dy}{dx}}.$

Функция, значение которой в точке x является производной от f по x тогда записывается

${\frac {df}{dx}}(x){\text{ или }}{\frac {df(x)}{dx}}{\text{ или }}{\frac {d}{dx}}f(x).$

Производные большего порядка записываются как

${\frac {d^{2}y}{dx^{2}}},{\frac {d^{3}y}{dx^{3}}},{\frac {d^{4}y}{dx^{4}}},\ldots ,{\frac {d^{n}y}{dx^{n}}}.$

Это напоминает формальную манипуляцию символами

${\frac {d\left({\frac {dy}{dx}}\right)}{dx}}=\left({\frac {d}{dx}}\right)^{2}y={\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}.$

Вообще говоря, эти равенства не являются теоремами. Более того, они являются просто определениями нотации. К тому же применение правила вычисления производной от дроби к вышеприведённой нотации с использованием dd, чтобы не путать с d², даёт

${\frac {d\left({\frac {dy}{dx}}\right)}{dx}}={\frac {ddy}{dx^{2}}}-{\frac {dy}{dx}}{\frac {ddx}{dx^{2}}}.$

Значение производной y в точке $x=a$ можно выразить с помощью нотации Лейбница двумя путями:

$\left.{\frac {dy}{dx}}\right|_{x=a}{\text{ или }}{\frac {dy}{dx}}(a)$.

Обозначение Лейбница позволяет указать переменную, по которой ведётся дифференцирования (в знаменателе). Это особенно удобно, когда рассматриваются частные производные. Это также позволяет легко запомнить и распознать правило дифференцирования сложной функции:

${\frac {dy}{dx}}={\frac {dy}{du}}\cdot {\frac {du}{dx}}.$

Нотация Лейбница для дифференцирования не требует придания особого смысла символам, таким как $dx$ или $dy$ и некоторые авторы не пытаются придать этим символам какой-то смысл. Лейбниц трактовал эти символы как бесконечно малые величины. Позднее авторы дали им другие смыслы, такие как бесконечно малые в нестандартном анализе или внешние производные.

Некоторые авторы и журналы используют прямое написание символа дифференцирования d вместо курсива, то есть dx. Стандарт ISO/IEC 80000 рекомендует этот стиль.

Нотация Лейбница для первообразной

$\int ydx$
$\int \int ydx^{2}$

Простой и двойной неопределённый интегралы y по x в нотации Лейбница.

Для функций от 2 и более переменных см. Кратный интеграл

Лейбниц ввёл знак интеграла $\int$ в работах Analyseos tetragonisticae pars secunda и Methodi tangentium inversae exempla (обе работы 1675 года). Знак стал стандартным символом интегрирования.

${\begin{aligned}\int y'\,dx&=\int f'(x)\,dx=f(x)+C_{0}=y+C_{0}\\\int y\,dx&=\int f(x)\,dx=F(x)+C_{1}\\\iint y\,dx^{2}&=\int \left(\int y\,dx\right)dx=\int _{X\times X}f(x)\,dx=\int F(x)\,dx=g(x)+C_{2}\\\underbrace {\int \dots \int } _{\!\!n}y\,\underbrace {dx\dots dx} _{n}&=\int _{\underbrace {X\times \cdots \times X} _{n}}f(x)\,dx=\int s(x)\,dx=S(x)+C_{n}\end{aligned}}$

Нотация Лагранжа

$f'(x)$

Функция f от x, продифференцированная один раз в нотации Лагранжа.

Одна из наиболее употребительных нотаций дифференцирования названа именем Жозефа Луи Лагранжа, хотя на самом деле её ввёл Эйлер, а Лагранж просто сделал нотацию популярной. В нотации Лагранжа штрих означает производную. Если f — функция, то её производная от x записывается как

$f'(x)$.

Нотация появилась в печати в 1749 году.

Производные более высоких порядков отображаются дополнительными знаками, $f''(x)$ для второй производной и $f'''(x)$ для третьей производной. Использование кратных штрихов рано или поздно приводит к громоздким выражениям. Некоторые авторы продолжают использование римских цифр, обычно на нижнем регистре как ниже

$f^{\mathrm {iv} }(x),f^{\mathrm {v} }(x),f^{\mathrm {vi} }(x),\ldots ,$

для обозначения четвёртой, пятой, шестой и производных более высокого порядка. Другие авторы используют арабские цифры в скобках как ниже

$f^{(4)}(x),f^{(5)}(x),f^{(6)}(x),\ldots .$

Эта нотация делает возможным записать n-ю производную, где n является переменной. Делается это так

$f^{(n)}(x).$

Символы юникода для нотации Лагранжа:

• U+2032 ◌′ штрих (производная)
• U+2033 ◌″ двойной штрих (вторая производная)
• U+2034 ◌‴ тройной штрих (третья производная)
• U+2057 ◌⁗ четверной штрих (четвёртая производная)

Если имеется две независимые переменные для функции f(x, y), можно следовать следующим соглашениям:

${\begin{aligned}f^{\prime }&={\frac {df}{dx}}=f_{x}\\f_{\prime }&={\frac {df}{dy}}=f_{y}\\f^{\prime \prime }&={\frac {d^{2}f}{dx^{2}}}=f_{xx}\\f_{\prime }^{\prime }&={\frac {\partial ^{2}f}{\partial x\partial y}}\ =f_{xy}\\f_{\prime \prime }&={\frac {d^{2}f}{dy^{2}}}=f_{yy}\end{aligned}}$

Нотация Лагранжа для первообразной

f⁽⁻¹⁾(x)
f⁽⁻²⁾(x)

Обычный и двойной неопределённые интегралы функции f по переменной x в нотации Лагранжа.

Для обозначения первообразной Лагранж следовал нотации Лейбница:

$f(x)=\int f'(x)\,dx=\int y\,dx.$

Однако, поскольку интегрирование является обратной операцией взятия производной, нотация Лагранжа для производных больших степеней распространяется и на интегрирование. Кратные интегралы от f могут быть записаны как

$f^{(-1)}(x)$ для обычного интеграла (не спутайте с обратной функцией $f^{-1}(x)$),

$f^{(-2)}(x)$ для двойного интеграла,

$f^{(-3)}(x)$ для тройного интеграла

$f^{(-n)}(x)$ для n-кратного интеграла.

Нотация Эйлера

$D_{x}y$
$D^{2}f$

Производная по x от y и вторая производная функции f, нотация Эйлера.

Нотация Эйлера использует дифференциальный оператор, предложенный Луи-Франсуа-Антуаном Арбогастом, имеющим обозначение $D$ (D-оператор) или ${\tilde {D}}$ (оператор Ньютона — Лейбница). Когда применяется к функции $f(x)$, оператор определяется как

$(Df)(x)={\frac {df(x)}{dx}}.$

Производные более высокого порядка обозначаются как «степени» оператора D (где индекс обозначает кратность оператора D)

$D^{2}f$ для второй производной,

$D^{3}f$ для третьей производной

$D^{n}f$ для n-й производной.

Нотация Эйлера не указывает явно переменную, по которой ведётся дифференцирование. Однако эту переменную можно указать и явно. Если f — это функция от переменной x, это можно выразить, записав

$D_{x}f$ для первой производной,

$D_{x}^{2}f$ для второй производной,

$D_{x}^{3}f$ для третьей производной

$D_{x}^{n}f$ для n-й производной.

Если f является функцией нескольких переменных, принято использовать «∂», а не D. Как и выше, нижний индекс означает переменную, по которой ведётся дифференцирование. Например, вторые частные производные функции f(x, y) обозначаются как:

$\partial _{xx}f={\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}},$

$\partial _{xy}f={\frac {\partial ^{2}f}{\partial y\partial x}},$

$\partial _{yx}f={\frac {\partial ^{2}f}{\partial x\partial y}},$

$\partial _{yy}f={\frac {\partial ^{2}f}{\partial y^{2}}}.$

См. § Частные производные.

Нотация Эйлера полезна для формулировки и решения линейных дифференциальных уравнений, поскольку упрощает представление дифференциальных уравнений, что позволяет увидеть существенные элементы задачи проще.

Нотация Эйлера для первообразной

$D_{x}^{-1}y$
$D^{-2}f$

Первообразная для y от x и вторая первообразная функции f, нотация Эйлера.

Нотация Эйлера может быть использована для первообразной так же, как и нотация Лагранжа, следующим образом

$D^{-1}f(x)$ для первой первообразной,

$D^{-2}f(x)$ для второй первообразной

$D^{-n}f(x)$ для n-й первообразной.

Нотация Ньютона

ẋẍ

Первая и вторая производные x, нотация Ньютона.

Нотация Ньютона для дифференцирования помещает точку над зависимой переменной. То есть, если y является функцией от t, то производная y по t есть

${\dot {y}}$.

Производные более высокого порядка представляются кратными точками как ниже

${\ddot {y}},{\overset {...}{y}}$

Ньютон распространил эту идею широко:

${\begin{aligned}{\ddot {y}}&\equiv {\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}={\frac {d}{dt}}\left({\frac {dy}{dt}}\right)={\frac {d}{dt}}{\Bigl (}{\dot {y}}{\Bigr )}={\frac {d}{dt}}{\Bigl (}f'(t){\Bigr )}=D_{t}^{2}y=f''(t)=y''_{t}\\{\overset {...}{y}}&={\dot {\ddot {y}}}\equiv {\frac {d^{3}y}{dt^{3}}}=D_{t}^{3}y=f'''(t)=y'''_{t}\\{\overset {\,4}{\dot {y}}}&={\overset {....}{y}}={\ddot {\ddot {y}}}\equiv {\frac {d^{4}y}{dt^{4}}}=D_{t}^{4}y=f^{\rm {IV}}(t)=y_{t}^{(4)}\\{\overset {\,5}{\dot {y}}}&={\ddot {\overset {...}{y}}}={\dot {\ddot {\ddot {y}}}}={\ddot {\dot {\ddot {y}}}}\equiv {\frac {d^{5}y}{dt^{5}}}=D_{t}^{5}y=f^{\rm {V}}(t)=y_{t}^{(5)}\\{\overset {\,6}{\dot {y}}}&={\overset {...}{\overset {...}{y}}}\equiv {\frac {d^{6}y}{dt^{6}}}=D_{t}^{6}y=f^{\rm {VI}}(t)=y_{t}^{(6)}\\{\overset {\,7}{\dot {y}}}&={\dot {\overset {...}{\overset {...}{y}}}}\equiv {\frac {d^{7}y}{dt^{7}}}=D_{t}^{7}y=f^{\rm {VII}}(t)=y_{t}^{(7)}\\{\overset {\,10}{\dot {y}}}&={\ddot {\ddot {\ddot {\ddot {\ddot {y}}}}}}\equiv {\frac {d^{10}y}{dt^{10}}}=D_{t}^{10}y=f^{\rm {X}}(t)=y_{t}^{(10)}\\{\overset {\,n}{\dot {y}}}&\equiv {\frac {d^{n}y}{dt^{n}}}=D_{t}^{n}y=f^{(n)}(t)=y_{t}^{(n)}\end{aligned}}$

Символы юникода для нотации Ньютона:

• U+0307 ◌̇ точка сверху (производная)
• U+0308 ◌̈ две точки сверху (вторая производная)
• U+20DB ◌⃛ три точки сверху (третья производная).
• U+20DC ◌⃜ четыре точки сверху (четвёртая производная).
• U+030D ◌̍ штрих сверху (интеграл)
• U+030E ◌̎ два штриха сверху (двойной интеграл)
• U+25AD ▭ белый прямоугольник (интеграл)
• U+20DE ◌⃞ объемлющий квадрат (интеграл)
• U+1DE0 ◌ᷠ (n-ая производная)

Нотация Ньютона в основном используется, когда независимой переменной служит время. Если положение y является функцией от времени t, то ${\dot {y}}$ обозначает скорость, а ${\ddot {y}}$ обозначает ускорение. Эта нотация популярна в физике и математической физике. Она также появляется в математических областях, связанных с физикой, таких как дифференциальные уравнения. Нотация популярна только для первой и второй производных, но в этих приложениях производные большего порядка и не требуются.

Когда берётся производная зависимой переменной $y=f(x)$, существует альтернативная нотация:

${\frac {\dot {y}}{\dot {x}}}={\dot {y}}:{\dot {x}}\equiv {\frac {dy}{dt}}:{\frac {dx}{dt}}={\frac {\frac {dy}{dt}}{\frac {dx}{dt}}}={\frac {dy}{dx}}={\frac {d}{dx}}{\Bigl (}f(x){\Bigr )}=Dy=f'(x)=y'.$

Ньютон разработал следующие операторы частных производных на основе точки сбоку от изогнутого X (ⵋ). Определения, данные Вайтсайдом следующие:

${\begin{aligned}{\mathcal {X}}\ &=\ f(x,y)\,,\\\cdot {\mathcal {X}}\ &=\ x{\frac {\partial f}{\partial x}}=xf_{x}\,,\\{\mathcal {X}}\!\cdot \ &=\ y{\frac {\partial f}{\partial y}}=yf_{y}\,,\\\colon \!{\mathcal {X}}\,{\text{ или }}\,\cdot \!\left(\cdot {\mathcal {X}}\right)\ &=\ x^{2}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}}=x^{2}f_{xx}\,,\\{\mathcal {X}}\colon \,{\text{ или }}\,\left({\mathcal {X}}\cdot \right)\!\cdot \ &=\ y^{2}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial y^{2}}}=y^{2}f_{yy}\,,\\\cdot {\mathcal {X}}\!\cdot \ \ &=\ xy{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x\partial y}}=xyf_{xy}\,,\end{aligned}}$

Нотация Ньютона для интегрирования

x̍x̎

Первая и вторая первообразные x в нотации Ньютона.

Ньютон разработал много различных нотаций для интрегрирования в работе Quadratura curvarum (1704) и более поздних работах — он писал маленькую вертикальную черту или штрих над зависимой переменной (${\overset {\,\prime }{y}}$), прямоугольник перед переменной (${\Box }y$) или заключение в прямоугольник (y) для обозначения изменения или интеграла по времени.

${\begin{aligned}y&=\Box {\dot {y}}\equiv \int {\dot {y}}\,dt=\int f'(t)\,dt=D_{t}^{-1}(D_{t}y)=f(t)+C_{0}=y_{t}+C_{0}\\{\overset {\,\prime }{y}}&=\Box y\equiv \int y\,dt=\int f(t)\,dt=D_{t}^{-1}y=F(t)+C_{1}\end{aligned}}$

Для обозначения кратных интегралов Ньютон использовал маленькие вертикальные чёрточки (${\overset {\,\prime \prime }{y}}$) или комбинацию предшествующих букве символов ${\Box }{\overset {\,\prime }{y}}$ ${\overset {\,\prime }{y}}$ для обозначения двойного интеграла по времени.

${\overset {\,\prime \prime }{y}}=\Box {\overset {\,\prime }{y}}\equiv \int {\overset {\,\prime }{y}}\,dt=\int F(t)\,dt=D_{t}^{-2}y=g(t)+C_{2}$

Более высокие интегралы по времени были следующие:

${\begin{aligned}{\overset {\,\prime \prime \prime }{y}}&=\Box {\overset {\,\prime \prime }{y}}\equiv \int {\overset {\,\prime \prime }{y}}\,dt=\int g(t)\,dt=D_{t}^{-3}y=G(t)+C_{3}\\{\overset {\,\prime \prime \prime \prime }{y}}&=\Box {\overset {\,\prime \prime \prime }{y}}\equiv \int {\overset {\,\prime \prime \prime }{y}}\,dt=\int G(t)\,dt=D_{t}^{-4}y=h(t)+C_{4}\\{\overset {\;n}{\overset {\,\prime }{y}}}&=\Box {\overset {\;n-1}{\overset {\,\prime }{y}}}\equiv \int {\overset {\;n-1}{\overset {\,\prime }{y}}}\,dt=\int s(t)\,dt=D_{t}^{-n}y=S(t)+C_{n}\end{aligned}}$

Эти математические обозначения не стали общеупотребительными ввиду трудности печати и спора Ньютона и Лейбница о приоритете.

Частные производные

f_xf_xy

Функция f, продифференцированная по x, во втором случае — по x и по y.

Когда требуются более специфичные типы дифференцирования, такие как в анализе функций многих переменных или тензорном анализе, общеупотребительны другие нотации.

Для функции f от независимой переменной x мы можем выразить производную с помощью индекса в виде независимой переменной:

${\begin{aligned}f_{x}&={\frac {df}{dx}}\\f_{xx}&={\frac {d^{2}f}{dx^{2}}}.\end{aligned}}$

Этот тип нотации особенно полезен для обозначения частных производных функции многих переменных.

∂f/∂x

Производная функции f по x.

Частные производные обычно отличают от обычных производных путём замены оператора дифференцирования d на символ «∂». Например, мы можем выразить частную производную $f(x,y,z)$ по x, но не по y или z несколькими способами:

${\frac {\partial f}{\partial x}}=f_{x}=\partial _{x}f.$

Что делает это отличие в нотации важным, это то, что простая производная (не частная), такая как $\textstyle {\frac {df}{dx}}$, может, в зависимости от контекста, быть интерпретирована как скорость изменения $f$ от $x$, когда все остальные переменные могут изменяться одновременно, в то время как для частной производной, такой как $\textstyle {\frac {\partial f}{\partial x}}$, только одна переменная может меняться.

Другие нотации можно найти в различных подобластях математики, физики и технических наук. См., например, соотношения Максвелла термодинамики. Символ $\left({\frac {\partial T}{\partial V}}\right)_{\!S}$ является производной температуры T по объёму V, сохраняя при этом постоянной энтропию (индекс) S, в то время как $\left({\frac {\partial T}{\partial V}}\right)_{\!P}$ является производной температуры по объёму при сохранении постоянным давлении P. Это становится необходимым в ситуациях, когда число переменных превосходит число степеней свободы, так что нужно выбирать, какие переменные необходимо сохранять постоянными.

Частные производные большего порядка по одной переменной выражаются как

${\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}}=f_{xx},$

${\frac {\partial ^{3}f}{\partial x^{3}}}=f_{xxx},$

и так далее. Смешанные частные производные можно выразить как

${\frac {\partial ^{2}f}{\partial y\partial x}}=f_{xy}.$

В этом последнем случае переменные записаны в обратном порядке для двух нотаций:

$(f_{x})_{y}=f_{xy},$

${\frac {\partial }{\partial y}}\!\left({\frac {\partial f}{\partial x}}\right)={\frac {\partial ^{2}f}{\partial y\partial x}}.$

Так называемый мультииндекс используется в ситуациях, когда вышеописанные обозначения становятся громоздкими или недостаточно выразительными. Если рассматривать функции на $\mathbb {R} ^{n}$, мы определим мультииндекс как упорядоченный список $n$ неотрицательных целых чисел: $\alpha =(\alpha _{1},..,\alpha _{n}),\ \alpha _{i}\in \mathbb {Z} _{\geq 0}$. Определим теперь для $f:\mathbb {R} ^{n}\to X$ нотацию

$\partial ^{\alpha }f={\frac {\partial ^{\alpha _{1}}}{\partial x_{1}^{\alpha _{1}}}}\cdots {\frac {\partial ^{\alpha _{n}}}{\partial x_{n}^{\alpha _{n}}}}f$

При таком определении некоторые результаты (такие как формула Лейбница), которую другим способом записать трудно, может быть выражена кратко. Некоторые примеры можно найти в статье о мультииндексе.

Нотация в векторном анализе

Векторный анализ занимается взятием производной и интегрированием векторного или скалярного поля. Для случая трёхмерного евклидова пространства общеупотребительны некоторые нотации.

Предположим, что $(x,y,z)$ является заданной декартовой системы координат, A является векторным полем с компонентами $\mathbf {A} =(\mathbf {A} _{x},\mathbf {A} _{y},\mathbf {A} _{z})$, а $\varphi =\varphi (x,y,z)$ является скалярным полем.

Оператор дифференцирования, введённый Уильямом Роуэном Гамильтоном, записываемый как $\nabla$ и называемый набла, определяется в символической форме как вектор,

$\nabla =\left({\frac {\partial }{\partial x}},{\frac {\partial }{\partial y}},{\frac {\partial }{\partial z}}\right)\!,$

Здесь выражение «в символической форме» отражает факт, что оператор $\nabla$ можно трактовать как обычный вектор.

$\nabla \phi$

Градиент скалярного поля $\varphi$.

• Градиент: Градиент $\mathrm {grad\,} \varphi$ скалярного поля $\varphi$ является вектором, который символически записывается как умножение $\nabla$ на скаляроное поле $\varphi$,

${\begin{aligned}\operatorname {grad} \varphi &=\left({\frac {\partial \varphi }{\partial x}},{\frac {\partial \varphi }{\partial y}},{\frac {\partial \varphi }{\partial z}}\right)\\&=\left({\frac {\partial }{\partial x}},{\frac {\partial }{\partial y}},{\frac {\partial }{\partial z}}\right)\varphi \\&=\nabla \varphi \end{aligned}}$

$\nabla \phi \cdot \mathbf {A}$

Дивергенция ыекторного поля A.

• Дивергенция: Дивергенция $\mathrm {div} \,\mathbf {A}$ векторного поля A есть скаляр, который символически выражается как скалярное произведение $\nabla$ и вектора A,

${\begin{aligned}\operatorname {div} \mathbf {A} &={\partial A_{x} \over \partial x}+{\partial A_{y} \over \partial y}+{\partial A_{z} \over \partial z}\\&=\left({\frac {\partial }{\partial x}},{\frac {\partial }{\partial y}},{\frac {\partial }{\partial z}}\right)\cdot \mathbf {A} \\&=\nabla \cdot \mathbf {A} \end{aligned}}$

$\nabla ^{2}\varphi$

Лапласиан скалярного поля $\varphi$.

• Оператор Лапласа: Лапласиан $\operatorname {div} \operatorname {grad} \varphi$ скалярного поля $\varphi$ есть скаляр, который символически выражается как скалярное умножение $\nabla ^{2}$ на скалярное поле $\varphi$,

${\begin{aligned}\operatorname {div} \operatorname {grad} \varphi &=\nabla \cdot (\nabla \varphi )\\&=(\nabla \cdot \nabla )\varphi \\&=\nabla ^{2}\varphi \\&=\Delta \varphi \\\end{aligned}}$

$\nabla \times \mathbf {A}$

Ротация векторного поля A.

• Ротация:Ротация $\mathrm {rot} \,\mathbf {A}$, или $\mathrm {rot} \,\mathbf {A}$, векторного поля A — это вектор, который символически выражается как векторное произведение $\nabla$ и вектора A,

${\begin{aligned}\operatorname {rot} \mathbf {A} &=\left({\partial A_{z} \over {\partial y}}-{\partial A_{y} \over {\partial z}},{\partial A_{x} \over {\partial z}}-{\partial A_{z} \over {\partial x}},{\partial A_{y} \over {\partial x}}-{\partial A_{x} \over {\partial y}}\right)\\&=\left({\partial A_{z} \over {\partial y}}-{\partial A_{y} \over {\partial z}}\right)\mathbf {i} +\left({\partial A_{x} \over {\partial z}}-{\partial A_{z} \over {\partial x}}\right)\mathbf {j} +\left({\partial A_{y} \over {\partial x}}-{\partial A_{x} \over {\partial y}}\right)\mathbf {k} \\&={\begin{vmatrix}\mathbf {i} &\mathbf {j} &\mathbf {k} \\{\cfrac {\partial }{\partial x}}&{\cfrac {\partial }{\partial y}}&{\cfrac {\partial }{\partial z}}\\A_{x}&A_{y}&A_{z}\end{vmatrix}}\\&=\nabla \times \mathbf {A} \end{aligned}}$

Многие символические операции взятия производный могут быть обобщены простым образом с помощью оператора градиента в декартовых координатах. Например, правило произведения для одной переменной имеет прямой аналог в произведении скалярных полей путём применения оператора градиента

$(fg)'=f'g+fg'~~~\Longrightarrow ~~~\nabla (\phi \psi )=(\nabla \phi )\psi +\phi (\nabla \psi ).$

Многие другие правила из анализа одной переменной имеют аналоги в векторном анализе для градиента, дивергенции, ротации и лапласиана.

Далее нотация развивалась для более экзотичных видов пространств. Для вычислений в пространстве Минковского, оператор Д’Аламбера, называемый также д’аламберианом или волновым оператором записывается как $\Box$ или как $\Delta$, если не образуется конфликт с символом лапласиана.

См. также

• Аналитическое общество
• Гессиан функции
• История математических обозначений
• Матрица Якоби
• Производная функции

Ссылка

• Earliest Uses of Symbols of Calculus, maintained by Jeff Miller (Архивировано 6 июля 2020 года.).