Обсуждение:Операционное исчисление

Уважаемые коллеги. А как отличить, где используется комплексная переменная p, а где это оператор дифференцирования? 83.167.114.195 16:00, 10 марта 2014 (UTC)Алексей Анучин

Пример решения системы дифференциальных уравнений операторным методом

Решить систему дифференциальных уравнений

$x_{1}^{'}=-0,5x_{1}+0,5x_{3};$

$x_{2}^{'}=0,3x_{1}-0,7x_{2};$

$x_{3}^{'}=0,2x_{1}+0,7x_{2}-0,5x_{3};$

с начальными условиями

$~x_{1}=0;$

$~x_{2}=0;$

$~x_{3}=1.$

Находим изображения для уравнений:

$~pX_{1}=-0,5X_{1}+0,5X_{3};$

$~pX_{2}=0,3X_{1}-0,7X_{2};$

$~pX_{3}-1=0,2X_{1}+0,7X_{2}-0,5X_{3}.$

(в левой части было применено Дифференцирование оригинала)
Преобразуем к стандартной системе линейных алгебраических уравнений:

$~-(0,5+p)X_{1}+0,5X_{3}=0;$

$~0,3X_{1}-(0,7+p)X_{2}=0;$

$~0,2X_{1}+0,7X_{2}-(0,5+p)X_{3}=-1.$

Решаем систему линейных уравнений методом Крамера:

$~D_{0}={\begin{vmatrix}-(0,5+p)&0&0,5\\0,3&-(0,7+p)&0\\0,2&0,7&-(0,5+p)\end{vmatrix}}=-p(p^{2}+1,7p+0,85);$

$~D_{1}={\begin{vmatrix}0&0&0,5\\0&-(0,7+p)&0\\-1&0,7&-(0,5+p)\end{vmatrix}}=-0,5p-0,35;$

$~D_{2}={\begin{vmatrix}-(0,5+p)&0&0,5\\0,3&0&0\\0,2&-1&-(0,5+p)\end{vmatrix}}=-0,15;$

$~D_{3}={\begin{vmatrix}-(0,5+p)&0&0\\0,3&-(0,7+p)&0\\0,2&0,7&-1\end{vmatrix}}=-p^{2}-1,2p-0,35.$

Находим изображения отдельных переменных и преобразуем к виду, пригодному для нахождения оригиналов:

$~X_{1}={\frac {0,5p+0,35}{p(p^{2}+1,7p+0,85)}}={\frac {7}{17}}\left({\frac {1}{p}}-{\frac {p+{\frac {17}{35}}}{p^{2}+1,7p+0,85}}\right)=$

$~={\frac {7}{17}}\left({\frac {1}{p}}-{\frac {p+0,85-{\frac {51}{140}}}{(p+0,85)^{2}-({\frac {\sqrt {51}}{20}})^{2}}}\right)=$

$~={\frac {7}{17}}\left({\frac {1}{p}}-{\frac {p+0,85}{(p+0,85)^{2}-({\frac {\sqrt {51}}{20}})^{2}}}+{\frac {{\frac {\sqrt {51}}{7}}\cdot {\frac {\sqrt {51}}{20}}}{(p+0,85)^{2}-({\frac {\sqrt {51}}{20}})^{2}}}\right)=$

$~={\frac {7}{17}}\left({\frac {1}{p}}-{\frac {p+\lambda }{(p+\lambda )^{2}-\omega ^{2}}}+{\frac {{\frac {\sqrt {51}}{7}}\omega }{(p+\lambda )^{2}-\omega ^{2}}}\right),$

где $~\lambda =0,85;$

$~\omega ={\frac {\sqrt {51}}{20}}.$

Находим оригинал по изображению:

$~x_{1}={\frac {7}{17}}\left(1-e^{-\lambda t}\cos \omega t+{\frac {\sqrt {51}}{7}}e^{-\lambda t}\sin \omega t\right)=$

$~={\frac {7}{17}}-{\frac {7}{17}}e^{-\lambda t}\cos \omega t+{\frac {\sqrt {51}}{17}}e^{-\lambda t}\sin \omega t.$

Проводим ту же последовательность операций для переменной $~x_{2}$:

$~X_{2}={\frac {0,15}{p(p^{2}+1,7p+0,85)}}={\frac {3}{17}}\left({\frac {1}{p}}-{\frac {p+1,7}{p^{2}+1,7p+0,85}}\right)=$

$~={\frac {3}{17}}\left({\frac {1}{p}}-{\frac {p+0,85+0,85}{(p+\lambda )^{2}-\omega ^{2}}}\right)=$

$~={\frac {3}{17}}\left({\frac {1}{p}}-{\frac {p+\lambda }{(p+\lambda )^{2}-\omega ^{2}}}-{\frac {{\frac {\sqrt {51}}{3}}\omega }{(p+\lambda )^{2}-\omega ^{2}}}\right);$

$~x_{2}={\frac {3}{17}}\left(1-e^{-\lambda t}\cos \omega t-{\frac {\sqrt {51}}{3}}e^{-\lambda t}\sin \omega t\right)=$

$~={\frac {3}{17}}-{\frac {3}{17}}e^{-\lambda t}\cos \omega t-{\frac {\sqrt {51}}{17}}e^{-\lambda t}\sin \omega t.$

И так же для переменной $~x_{3}$:

$~X_{3}={\frac {p^{2}+1,2p+0,35}{p(p^{2}+1,7p+0,85)}}={\frac {10}{17}}\left({\frac {0,7}{p}}+{\frac {p+0,85}{p^{2}+1,7p+0,85}}\right)=$

$~={\frac {10}{17}}\left({\frac {0,7}{p}}+{\frac {p+\lambda }{(p+\lambda )^{2}-\omega ^{2}}}\right);$

$~x_{3}={\frac {10}{17}}\left(0,7+e^{-\lambda t}\cos \omega t\right)=$

$~={\frac {7}{17}}+{\frac {10}{17}}e^{-\lambda t}\cos \omega t.$

Окончательно получаем

$~x_{1}={\frac {7}{17}}-{\frac {7}{17}}e^{-\lambda t}\cos \omega t+{\frac {\sqrt {51}}{17}}e^{-\lambda t}\sin \omega t;$

$~x_{2}={\frac {3}{17}}-{\frac {3}{17}}e^{-\lambda t}\cos \omega t-{\frac {\sqrt {51}}{17}}e^{-\lambda t}\sin \omega t;$

$~x_{3}={\frac {7}{17}}+{\frac {10}{17}}e^{-\lambda t}\cos \omega t.$