Операционное исчисление

Операционное исчисление — один из методов математического анализа, позволяющий в ряде случаев с помощью простых средств решать сложные математические задачи.

История

В середине XIX века появился ряд сочинений, посвящённых так называемому символическому исчислению и применению его к решению некоторых типов линейных дифференциальных уравнений. Сущность символического исчисления состоит в том, что вводятся в рассмотрение и надлежащим образом интерпретируются функции оператора дифференцирования $p={d \over dt}$ (теория операторов). В 1862 году в Киеве вышла обстоятельная монография профессора-математика Михаила Ващенко-Захарченко «Символическое исчисление и приложение его к интегрированию линейных дифференциальных уравнений».^{[значимость факта?]} В ней поставлены и разрешены основные задачи того метода, который в дальнейшем получил название операционного.

В 1892 году появились работы английского учёного Оливера Хевисайда, посвящённые применению метода символического исчисления к решению задач по теории распространения электрических колебаний в проводах. В отличие от своих предшественников, Хевисайд определил обратный оператор однозначно, полагая ${\frac {1}{p}}f(t)=\int \limits _{0}^{t}\!f(u)\,du$ и считая $f(u)=0$ для $u<0$. Труды Хевисайда положили начало систематическому применению символического, или операционного, исчисления к решению физических и технических задач.

Однако широко развитое в трудах Хевисайда операционное исчисление не получило математического обоснования, и многие его результаты оставались недоказанными. Строгое обоснование было дано значительно позже, когда была установлена связь между функциональным преобразованием Лапласа ${\bar {f}}(p)=L\left[f(t)\right]=\int \limits _{0}^{\infty }\!e^{-pt}f(t)\,dt$ и оператором дифференцирования ${d \over dt}.$ Именно, если существует производная $f^{\prime }(t)$, для которой $L\left[{df \over dt}\right]$ существует и $f(0)=0$, то $L\left[{df \over dt}\right]=p{\bar {f}}(p)$.

В 1950-е годы теоретическое обоснование операционного исчисления продолжил Ян Микусинский, его идеи отличаются оригинальным взглядом и новаторским подходом, его вариант операционного исчисления получил название «операционное исчисление по Микусинскому». Этот метод может быть применён для решения дифференциальных уравнений и основан на использовании операции свёртки с применением преобразования Фурье.

Свойства изображений

• Линейность

Оригинал линейной комбинации функций равен линейной комбинации изображений с теми же коэффициентами.

$a\cdot f(t)+b\cdot g(t)\quad \Rightarrow \quad a\cdot F(p)+b\cdot G(p),$

где a и b — произвольные комплексные числа.

• Теорема подобия

$f(at)\quad \Rightarrow \quad {\frac {1}{a}}F\left({\frac {p}{a}}\right),$

где a>0.

• Дифференцирование оригинала

$f(t)\quad \Rightarrow \quad F(p);$

$f'(t)\quad \Rightarrow \quad pF(p)-f(0);$

$f''(t)\quad \Rightarrow \quad p^{2}F(p)-pf(0)-f'(0);$

$f'''(t)\quad \Rightarrow \quad p^{3}F(p)-p^{2}f(0)-pf'(0)-f''(0);$

$...$

$f^{(n)}(t)\quad \Rightarrow \quad p^{n}F(p)-p^{n-1}f(0)-p^{n-2}f'(0)-p^{n-3}f''(0)-...-f^{(n-1)}(0).$

• Дифференцирование изображения

$-tf(t)\quad \Rightarrow \quad F'(p).$

• Интегрирование оригинала

$\int \limits _{0}^{t}f(t)dt\quad \Rightarrow \quad {\frac {1}{p}}F(p).$

• Интегрирование изображения

${\frac {f(t)}{t}}\quad \Rightarrow \quad \int \limits _{p}^{\infty }F(p)dp.$

• Теорема смещения

$e^{at}f(t)\quad \Rightarrow \quad F(p-a).$

• Теорема запаздывания

$f(t-\tau )\quad \Rightarrow \quad e^{-p\tau }F(p).$

• Теорема умножения (свёртки)

$\int \limits _{0}^{t}f(\tau )g(t-\tau )d\tau \quad \Rightarrow \quad F(p)\cdot G(p).$

Изображения различных функций

Оригинал	Изображение		Оригинал	Изображение		Оригинал	Изображение
$C$	${\frac {C}{p}}$		$t\cdot \sin ~\omega t$	${\frac {2p\omega }{(p^{2}+\omega ^{2})^{2}}}$		$t\cdot \operatorname {sh} ~\omega t$	${\frac {2p\omega }{(p^{2}-\omega ^{2})^{2}}}$
$e^{at}$	${\frac {1}{p-a}}$		$t\cdot \cos ~\omega t$	${\frac {p^{2}-\omega ^{2}}{(p^{2}+\omega ^{2})^{2}}}$		$t\cdot \operatorname {ch} ~\omega t$	${\frac {p^{2}+\omega ^{2}}{(p^{2}-\omega ^{2})^{2}}}$
$\sin ~\omega t$	${\frac {\omega }{p^{2}+\omega ^{2}}}$		$\operatorname {sh} ~\omega t$	${\frac {\omega }{p^{2}-\omega ^{2}}}$		$t^{n}$	${\frac {n!}{p^{n+1}}}$
$\cos ~\omega t$	${\frac {p}{p^{2}+\omega ^{2}}}$		$\operatorname {ch} ~\omega t$	${\frac {p}{p^{2}-\omega ^{2}}}$		$t^{a}$	${\frac {\Gamma (a+1)}{p^{a+1}}}$
$e^{at}\sin ~\omega t$	${\frac {\omega }{(p-a)^{2}+\omega ^{2}}}$		$e^{at}\operatorname {sh} ~\omega t$	${\frac {\omega }{(p-a)^{2}-\omega ^{2}}}$		$e^{at}t^{n}$	${\frac {n!}{(p-a)^{n+1}}}$
$e^{at}\cos ~\omega t$	${\frac {p-a}{(p-a)^{2}+\omega ^{2}}}$		$e^{at}\operatorname {ch} ~\omega t$	${\frac {p-a}{(p-a)^{2}-\omega ^{2}}}$

Применение операторных методов в электротехнике

См. также: Операторный метод расчёта переходных процессов

Переходный процесс в коммутируемой RL-цепочке

Задача

На рисунке изображена коммутируемая RL-цепочка. В некоторый момент времени t=0 ключ К замыкается. Определить зависимость тока в RL-цепочке от времени.

Решение традиционным методом

Согласно второму закону Кирхгофа, схема описывается следующим дифференциальным уравнением:

$U=iR+L{\frac {di}{dt}},$

где первый член описывает падение напряжения на резисторе R, а второй — на индуктивности L.

Делаем замену переменной $i=ab$ и приводим уравнение к виду:

$U=Rab+L(a'b+ab');\qquad U=a(Rb+Lb')+La'b.$

Поскольку один из сомножителей a, b можно выбрать произвольно, выберем b так, чтобы выражение в скобках было равно нулю:

$Rb+Lb'=0.$

Разделяем переменные:

${\frac {b'}{b}}=-{\frac {R}{L}};\qquad \ln b=-{\frac {R}{L}}t;\qquad b=e^{-{\frac {R}{L}}t}.$

С учётом выбранного значения b дифференциальное уравнение приводится к виду

$U=La'e^{-{\frac {R}{L}}t};\qquad a'={\frac {Ue^{{\frac {R}{L}}t}}{L}};$

Интегрируя, получаем

$a={\frac {L}{R}}\cdot {\frac {Ue^{{\frac {R}{L}}t}}{L}}+C={\frac {Ue^{{\frac {R}{L}}t}}{R}}+C;\qquad$

Получаем выражение для тока

$i=ab=\left({\frac {Ue^{{\frac {R}{L}}t}}{R}}+C\right)\cdot e^{-{\frac {R}{L}}t}={\frac {U}{R}}+Ce^{-{\frac {R}{L}}t};$

Значение постоянной интегрирования находим из условия, что в момент t=0 тока в цепи не было:

$i(0)=0;\qquad {\frac {U}{R}}+C=0;\qquad C=-{\frac {U}{R}}.$

Окончательно получаем

$i={\frac {U}{R}}\left(1-e^{-{\frac {R}{L}}t}\right).$

Решение операторным методом

Найдём изображения каждого из слагаемых дифференциального уравнения:

$i\Rightarrow I;\qquad U\Rightarrow {\frac {U}{p}};\qquad iR\Rightarrow IR;\qquad L{\frac {di}{dt}}\Rightarrow L\left[pI-i(0)\right]=pLI.$

$U\Rightarrow {\frac {U}{p}}$ получается потому, что изменение U во времени выражается функцией U = H(t)U (ключ замкнули в момент t = 0), где H(t) — ступенчатая функция Хевисайда (единичная функция), (H(t) = 0 при t < 0 и H(t) = 1 при t = 0 и t > 0, причём изображение H(t) есть 1/p).

Получаем следующее изображение дифференциального уравнения

${\frac {U}{p}}=RI+pLI=I(R+pL).$

Из последнего выражения найдём изображение тока:

$I={\frac {U}{p(R+pL)}}.$

Таким образом, решение сводится к нахождению оригинала тока по известному изображению. Разложим правую часть уравнения на элементарные дроби:

${\frac {U}{p(R+pL)}}={\frac {A}{p}}+{\frac {B}{R+pL}}={\frac {A(R+pL)+Bp}{p(R+pL)}}={\frac {AR+p(AL+B)}{p(R+pL)}};$

$AR=U;\qquad A={\frac {U}{R}};$

$AL+B=0;\qquad B=-AL=-{\frac {UL}{R}};$

$I={\frac {U}{Rp}}-{\frac {UL}{R(R+pL)}}={\frac {U}{Rp}}-{\frac {U}{R({\frac {R}{L}}+p)}}={\frac {U}{R}}\left({\frac {1}{p}}-{\frac {1}{{\frac {R}{L}}+p}}\right).$

Найдём оригиналы элементов последнего выражения:

${\frac {1}{p}}\Leftarrow 1;\qquad {\frac {1}{{\frac {R}{L}}+p}}\Leftarrow e^{-{\frac {R}{L}}t}.$

Окончательно получаем

$i={\frac {U}{R}}\left(1-e^{-{\frac {R}{L}}t}\right).$

Вывод

Операционное исчисление чрезвычайно удобно в электротехнике для расчёта динамических режимов различных цепей. Алгоритм расчёта следующий.

1) Все элементы цепи рассматриваем как сопротивления Z_i, величины которых находим исходя из изображений переходных функций соответствующих элементов.

Например, для резистора:

$u=iR;\quad \Rightarrow \quad U=IR\quad \Rightarrow \quad Z_{R}=R.$

Для индуктивности:

$u=L{\frac {di}{dt}}\quad \Rightarrow \quad U=IpL\quad \Rightarrow \quad Z_{L}=pL.$

Для ёмкости:

$u={\frac {1}{C}}\int idt\quad \Rightarrow \quad U={\frac {I}{pC}}\quad \Rightarrow \quad Z_{C}={\frac {1}{pC}}.$

2) Используя указанные значения сопротивлений, находим изображения токов в цепи, используя стандартные методы расчёта цепей, применяемые в электротехнике.

3) Имея изображения токов в цепи, находим оригиналы, которые и являются решением дифференциальных уравнений, описывающих цепь.

Применение операционного исчисления

Операторные методы применяются в теории электрических цепей, теории автоматического управления, теории сигналов, теоретической механике. Переход к изображениям позволяет перейти от решения дифференциальных уравнений к алгебраическим. Операционное исчисление позволяет работать с разрывными функциями, например функция-«ножницы», импульс, дельта-функция и другие. Эта особенность отличает операционное исчисление от математического анализа с его непрерывностью и дифференцированностью в каждой точке. Однако, операционное исчисление является разделом комплексного анализа.

Замечания

Полученные выше выражения для операторного сопротивления различных элементов с точностью до преобразования

$p\rightarrow j\omega$

совпадают с соответствующими выражениями для сопротивлений в цепях переменного тока:

$Z_{R}=R;\qquad Z_{L}=j\omega L;\qquad Z_{C}={\frac {1}{j\omega C}}.$

Литература

• Сидоров Ю. В., Федорюк М. В., Шабунин М. И. Лекции по теории функций комплексного переменного. — 1989. — С. 479. — ISBN 5-02-013954-8.
• Брейсуэлл Р. Преобразование Хартли. — 1990. — С. 172.
• Деч Г. Преобразование Лапласа. — 1971. — С. 288.

• Диткин В. А., Прудников А. П. Операционное исчисление. — 1975. — С. 408.
• Конторович М. И. Операционное исчисление. — 1955. — С. 229.
• Мартыненко В. С. Операционное исчисление. — 1990. — С. 359.
• Микусинский Ян. Операторное исчисление. — 1956. — С. 363.
• Шостак Р. Я. Операционное исчисление. — 1972. — С. 274.

• Штокало И. З. Операционное исчисление. — 1972. — С. 304.

• Эйдерман В. Я. Операционное исчисление. — «Физматлит», 2002. — С. 256. — ISBN 5-9221-0283-4.

• Пантелеев А. В., Якимова А. С. Теория функций комплексного переменного и операционное исчисление в примерах и задачах : учебное пособие. — «Выс. шк.», 2001. — С. 445. — ISBN 5-06-004135-2.