Обсуждение:Тригонометрическая формула Виета

Ошибка?

Есть подозрение, что в случае Q < 0 для действительного корня sign(R) в произведении не нужен, или там иная ошибка. Kuzia 07:49, 10 ноября 2010 (UTC)

Подтверждение ошибки

В формуле для x1 (при S<0 и Q<0) сигнатуры sgn(R) действительно быть не должно. Подтверждается расчетом и аналогичной формулой на сайте, ссылка на который была заблокирована при отправке первого варианта этого сообщения.K-read 01:43, 23 ноября 2010 (UTC)

Вывод формулы

При выводе формулы в какой-то момент встречается вот такое уравнение $\cos 3\varphi =-{\frac {4q}{A^{3}}}$. И нигде не сказано, что решение у него существует только при условии $\left|{-{\frac {4q}{A^{3}}}}\right|\leq 1$. Потому что только в этом случае данная величина может быть косинусом некоторого угла. Если же это условие не выполняется, видимо, для решения кубического уравнения используется уже другая формула - с гиперболическими функциями. А вот для нее-то вывод и не приведён.Clothclub (обс.) 13:26, 15 февраля 2023 (UTC)

Странная формула

Забавно получается. Рассмотрим первый случай, когда $S>0$. В этом случае, очевидно, $S={Q^{3}}+{R^{2}}>0$, откуда следует ${R^{2}}>-{Q^{3}}$. При этом, очевидно, $Q$ должна быть отрицательной величиной, поскольку только в этом случае можно будет, во-первых, извлечь квадратный корень из $-{Q^{3}}$, во-вторых, разделить потом $R$ на этот корень, и чтобы в знаменателе не оказалось нуля. Хотя, если честно, я не знаю, каким именно образом отрицательность $Q$ следует из того, что $S>0$, и почему $Q<0$ не надо задать в качестве дополнительного условия для первого случая, но допустим, что это так. Тогда поскольку $Q<0$, то обе части неравенства ${R^{2}}>-{Q^{3}}$ можно поделить на $-{Q^{3}}$, и знак неравенства не изменится! Потому что делим на положительное число. В результате получим такое эквивалентное неравенство: ${\frac {R^{2}}{-{Q^{3}}}}>1$. В левой части неравенства оказалась положительная величина, а значит, из нее можно извлечь квадратный корень. В результате получим: ${\frac {|R|}{\sqrt {-{Q^{3}}}}}>1$. Ну, и, наконец, последнее неравенство можно переписать так: $\left|{\frac {R}{\sqrt {-{Q^{3}}}}}\right|>1$. Подмодульное выражение последнего неравенства затем подается "на вход" функции арккосинуса. Получается, что мы берем арккосинус от аргумента, модуль которого больше единицы. Вернее, не мы, а вы... Clothclub (обс.) 00:56, 20 февраля 2023 (UTC)

Правильная формула

Правильная формула выглядит так. Рассмотрим кубическое уравнение $x^{3}+px+q=0$, к которому, как известно, можно свести любое кубическое уравнение. Обозначим $Q={\left({\frac {q}{2}}\right)^{2}}+{\left({\frac {p}{3}}\right)^{3}}$. Тогда нужно рассмотреть несколько возможных вариантов:

• $Q\leq 0$: Если $Q<0$, отсюда автоматически следует, что и $p<0$. Это означает, как минимум, что $p\neq 0$. Если же $Q=0$, то $p\leq 0$, причем, равенство $p=0$ получается только в случае, когда и $q=0$. В этом случае уравнение имеет три корня, равные нулю. Если же $Q=0$, $p<0$, то используется та же формула, что и в случае $Q<0$, $p<0$. Поэтому наиболее удобно было бы рассмотреть один пункт $Q\leq 0$, а внутри сделать два подпункта: $p<0$ и $p=0$. Вариант $p>0$ при $Q\leq 0$ невозможен.
  • $p<0$: ${\varphi _{1}}={\frac {1}{3}}\arccos \left({\frac {3q/p}{2{\sqrt {|p|/3}}}}\right)$, ${\varphi _{2}}={\varphi _{1}}+120^{\circ }$, ${\varphi _{3}}={\varphi _{1}}-120^{\circ }$. Тогда ${x_{j}}=2{\sqrt {\frac {|p|}{3}}}\cos({\varphi _{j}})$, $j=1,2,3$.
  • $p=0$: $x_{1}=x_{2}=x_{3}=0$. Очевидно, такой же ответ получился бы из предыдущего подпункта, если б угол ${\varphi _{1}}$ существовал при $p=0$.
• $Q>0$:
  • $p=0$: В данном случае уравнение имеет вид $x^{3}+q=0$ ($q\neq 0$). Очевидно, один из корней находится, как кубический корень из $-q$. Однако это только один единственный корень, который в данном случае является действительным. Чтобы найти все три корня, надо воспользоваться следующей формулой (оставшиеся два корня будут мнимыми): ${\varphi _{1}}={\frac {1}{3}}\arccos(1)=0$, ${\varphi _{2}}={\varphi _{1}}+120^{\circ }$, ${\varphi _{3}}={\varphi _{1}}-120^{\circ }$. Тогда ${x_{j}}={\sqrt[{3}]{-q}}{e^{i{\varphi _{j}}}}$, $j=1,2,3$.
  • $p<0$: в этом случае коэффициент $p$ уравнения отрицателен, но он не может быть слишком уж большим по модулю. Собственно, это можно записать так: $Q={\left({\frac {q}{2}}\right)^{2}}+{\left({\frac {p}{3}}\right)^{3}}>0$, откуда $0>p>-3{\left({\frac {q}{2}}\right)^{2/3}}$. Как следствие, это означает, что $q\neq 0$. Действительно, если подставить $q=0$ в это неравенство, получится противоречие. Иными словами, если в исходном уравнении $q=0$, то в этот подпункт попасть невозможно. Решение будет таким: $\left\{{\begin{array}{l}{\varphi _{1}}={\frac {1}{3}}arch\left({\frac {3|q/p|}{2{\sqrt {|p|/3}}}}\right)\\{x_{1}}=-2{\mathop {\rm {sgn}} }(q){\sqrt {\frac {|p|}{3}}}ch({\varphi _{1}})\\{x_{2,3}}={\mathop {\rm {sgn}} }(q){\sqrt {\frac {|p|}{3}}}ch({\varphi _{1}})\pm i{\sqrt {|p|}}sh({\varphi _{1}})\end{array}}\right.$
  • $p>0$: в этом случае коэффициент $q$ уже может принимать значение ноль. Тогда решение исходного уравнения будет таким:$\left\{{\begin{array}{l}{\varphi _{1}}={\frac {1}{3}}arsh\left({\frac {3|q/p|}{2{\sqrt {|p|/3}}}}\right)\\{x_{1}}=-2{\mathop {\rm {sgn}} }(q){\sqrt {\frac {|p|}{3}}}sh({\varphi _{1}})\\{x_{2,3}}={\mathop {\rm {sgn}} }(q){\sqrt {\frac {|p|}{3}}}sh({\varphi _{1}})\pm i{\sqrt {|p|}}ch({\varphi _{1}})\end{array}}\right.$

Другой вариант

Рассмотрим кубическое уравнение $x^{3}+px+q=0$, к которому сводится произвольное кубическое уравнение. Один действительный корень у такого уравнения существует всегда, и его можно найти по формуле Кардано $x_{1}=a+b$, где

$Q={\left({\frac {q}{2}}\right)^{2}}+{\left({\frac {p}{3}}\right)^{3}}$,

$a={\sqrt[{3}]{-{\frac {q}{2}}+{\sqrt {Q}}}}$,

$b={\sqrt[{3}]{-{\frac {q}{2}}-{\sqrt {Q}}}}$.

Отсюда, кстати, очевидно, что $a\geq b$. Конечно, если только оба числа действительны. Можно переобозначить и наоборот (т.е. поменять местами $a$ и $b$), поскольку это не принципиально. Но остановимся для определенности на таком варианте.

Согласно Кардано оставшиеся два корня находятся из формулы ${x_{2,3}}=-{\frac {a+b}{2}}\pm i{\frac {a-b}{2}}{\sqrt {3}}$.

Можно доказать, что остальные два корня можно также найти по формулам:

${x_{2}}={\varepsilon _{1}}a+{\varepsilon _{2}}b$,

${x_{3}}={\varepsilon _{2}}a+{\varepsilon _{1}}b$,

где ${\varepsilon _{1}}$, ${\varepsilon _{2}}$ - это комплексные кубические корни из единицы:

${\varepsilon _{1}}={\frac {-1+i{\sqrt {3}}}{2}}$,

${\varepsilon _{2}}={\frac {-1-i{\sqrt {3}}}{2}}$.

Это доказывается простой подстановкой. Интересно то, что числа ${\varepsilon _{1}}$, ${\varepsilon _{2}}$ представимы в виде комплексной экспоненты:

${\varepsilon _{1}}={\frac {-1+i{\sqrt {3}}}{2}}={e^{i120^{\circ }}}$,

${\varepsilon _{2}}={\frac {-1-i{\sqrt {3}}}{2}}={e^{-i120^{\circ }}}$.

Если теперь числа $a$ и $b$ тоже выразить через экспоненту как-нибудь вот так:

$a=A{e^{\varphi }}$,

$b=B{e^{-\varphi }}$,

тогда все три корня можно будет найти по формулам:

$\left\{{\begin{array}{l}{x_{1}}=A{e^{\varphi }}+B{e^{-\varphi }}\\{x_{2}}=A{e^{\varphi +i120^{\circ }}}+B{e^{-\varphi -i120^{\circ }}}\\{x_{3}}=A{e^{\varphi -i120^{\circ }}}+B{e^{-\varphi +i120^{\circ }}}\end{array}}\right.$.

Поскольку сделать это теоретически всегда возможно, остается только найти значения для $\varphi$, $A$, $B$. Или, как вариант, для $\varphi$, $a$, $b$. Значения можно найти по следующим формулам:

• $Q\leq 0$:
  • $p<0$: $\varphi =i{\frac {1}{3}}\arccos \left({\frac {3q/p}{2{\sqrt {|p|/3}}}}\right)$, $A=B={\sqrt {\frac {|p|}{3}}}$.
  • $p=0$: $\varphi$ - любое значение, $A=B={\sqrt {\frac {|p|}{3}}}$.
• $Q>0$:
  • $p=0$: $\varphi =0$,
    • $q>0$: $B={\sqrt[{3}]{-q}}$, $A=0$.
    • $q<0$: $A={\sqrt[{3}]{-q}}$, $B=0$.
  • $p<0$: $\varphi =-{\mathop {\rm {sgn}} }(q){\frac {1}{3}}arch\left({\frac {3|q/p|}{2{\sqrt {|p|/3}}}}\right)$, $A=B=-{\mathop {\rm {sgn}} }(q){\sqrt {\frac {|p|}{3}}}$.
  • $p>0$: $\varphi =-{\mathop {\rm {sgn}} }(q){\frac {1}{3}}arsh\left({\frac {3|q/p|}{2{\sqrt {|p|/3}}}}\right)$, $A=-B={\sqrt {\frac {|p|}{3}}}$.

Смысл здесь в том, чтобы, прежде всего, получить действительный корень уравнения, который всегда существует и выражается формулой $x_{1}=a+b$, а затем привести его к специальному виду, выразив его через экспоненты. Тогда оставшиеся два корня, действительные или мнимые, получаются, грубо говоря, добавлением (и убавлением) $120^{\circ }$ к аргументу экспонент. Дальше от комплексных экспонент при необходимости можно вернутся к тригонометрическим и гиперболическим синусам и косинусам.

PS

В случае $Q>0$, $p=0$ исходное уравнение приобретает вид $x^{3}+q=0$. Нетрудно догадаться, что корень уравнения здесь получается, как кубический корень из $-q$. Проблема здесь в том, откуда взять оставшиеся два корня. На самом деле, никакой проблемы нет: оставшимися корнями уравнения в данном случае являются оставшиеся кубические корни из $-q$ (они мнимые). Фактически, ${\sqrt[{3}]{-q}}$ можно записать так: ${\sqrt[{3}]{-q}}={\sqrt[{3}]{-q}}\cdot {\sqrt[{3}]{1}}$, где ${\sqrt[{3}]{-q}}$ - "обычный", действительный корень из $-q$, ${\sqrt[{3}]{1}}=\{1,{\varepsilon _{1}},{\varepsilon _{2}}\}$.

Казалось бы, в данном случае можно было обойтись одной единственной формулой. Но если требуется, чтобы неравенство $a\geq b$ было по-прежнему верным, необходимо рассмотреть два разных случая, для $q>0$ и для $q<0$, что и было сделано.

Вывод формулы

В кубическом уравнении $x^{3}+px+q=0$ сделать замену переменной с помощью одной из трех следующих подстановок:

• $x=A\cos(\varphi )$,
• $x=Ach(\varphi )$,
• $x=Ash(\varphi )$.

Подстановка выбирается таким образом, чтобы в результате нашелся действительный корень $\varphi$. Далее нужно подобрать параметр $A$ таким образом, чтобы получилось одно из трех тождеств:

• косинус тройного угла,
• гиперболический косинус тройного угла,
• гиперболический синус тройного угла.

Clothclub (обс.) 23:13, 3 марта 2023 (UTC)