Тригонометрическая формула Виета
Текущая версия страницы пока не проверялась опытными участниками и может значительно отличаться от версии, проверенной 22 ноября 2021 года; проверки требуют 12 правок.
Тригонометрическая формула Виета — один из способов решения кубического уравнения
Первым решение этого уравнения нашел Никколо Тарталья, Джероламо Кардано опубликовал его решение в 1545 году под своим именем (см. формула Кардано). Однако формула Виета более удобна для практического применения[уточнить], ибо позволяет обойтись без мнимых величин.
Формула править
- Вычисляем
- Вычисляем
- Вычисляем
- Если , то вычисляем и имеем три действительных корня:
- Если , то заменяем тригонометрические функции гиперболическими. Здесь возможны следующие случаи в зависимости от знака :
- :
- (действительный корень)
- (пара комплексных корней)
- :
- (действительный корень)
- (пара комплексных корней)
- :
- (действительный корень)
- (пара комплексных корней)
- :
- Если , то уравнение вырождено и имеет меньше 3 различных решений (второй корень кратности 2):
Вывод формулы править
- Исходный многочлен имеет вид .
- Подстановкой приводим многочлен к виду , где и .
- Ищем решение уравнения в виде , получаем уравнение .
- Заметим что в случае при это уравнение приобретает вид .
- Используя тригонометрическое тождество приходим к уравнению вида .
- Решение этого уравнения имеет вид , где пробегает значения 0, 1, -1. При условии, что .
- Подставляя полученные значения в выражение для переменной , получаем ответ
Для улучшения этой статьи по математике желательно:
|