Обсуждение:Тригонометрические тождества

Untitled

sinx = a. Если | a | > 1 — решений нет.

правильнее писать, что нет действительных решений или корней, т.к. есть комплексное решение. 217.16.26.85 13:47, 2 марта 2008 (UTC)

 И в правду Amatory112 15:18, 20 апреля 2009 (UTC)

Из логического анализа формулы синуса суммы углов следует что если что-то и тождественно даже самому себе, то вне времени. Андроид.91.205.25.30 13:41, 10 октября 2011 (UTC)

Формулы сложения аргументов

Добавте формулу сложения аргументов котангенса.

cot(a +- b)=(cot(a)*cot(b) +- 1)/(cot(b) -+ cot(a)) --78.157.77.31 21:18, 28 марта 2010 (UTC)

Добавил, однако плюсы-минусы там наоборот. efpies 23:07, 28 марта 2010 (UTC)

Да, точно. Я какраз хотел исправить свою ошибку. Спасибо. --78.157.77.31 00:22, 29 марта 2010 (UTC)

формулы решения простейших уравнений

я добавил их, они в самом низу =) --DonAlex 13:19, 11 июля 2007 (UTC)

тряляля

вывод формулы излишне сложный, воспользуемся тем же рисунком пусть угол EAB по прежнему α, а угол CAB - β, докажем, что sin (β-α) = sin β * cos α - sin α * cos β

пусть (AE) = 1, тогда

(BE) = sin α (из треугольника ∆ ABE)

(АВ) = cos α (из треугольника ∆ ABE)

(BC) = (AB) * tg β = cos α * tg β (из треугольника ∆ ABC)

(EC) = (BC) – (BE) = cos α * tg β - sin α

(AC) = (AB) / cos β = cos α / cos β (из треугольника ∆ ABC)

(ED) = sin (β-α) (из треугольника ∆ ADE)

∆ EDC подобен ∆ ABC, поэтому

(EC) / (ED) = (AC) / (AB), т.е.

(cos α * tg β - sin α) / sin (β-α) = (cos α / cos β) / cos α

умножаем обе части на sin (β-α) * cos β

(cos α * tg β - sin α) * cos β = sin (β-α) или

sin β * cos α - sin α * cos β = sin (β-α)

далее получаются все остальные формулы

Да и, к тому же, были ошибки

в выводе формулы cos(α + β) и в переходе к sin(α + β)

Уже поправил.

--DangerDave 13:23, 29 октября 2007 (UTC)

Доказательства

cos(a+b) вообще через ... доказано.. Может и интересное.. Есть смысл переписывать в более простое? Или может сделать несолько вариантов?

А формулы произвдения в сумму вообще:

a=(a+b)/2 Из чего можно сделать вывод что а равно b :) Фил 18:26, 20 мая 2008 (UTC)

отображение формул

Что стало с отображением формул? (93.73.159.71 10:09, 8 октября 2008 (UTC))

Перед закрывающим тегом /math надо было поставить пробел. :) --87.228.121.228 13:21, 21 сентября 2009 (UTC) Юрий Д.

Формулы тройного угла

Почему убрали формулы тройного угла? Если нет весомых причин, то нужно их вернуть ZoAs 10:43, 26 октября 2008 (UTC) 79.172.76.232 12:21, 18 марта 2009 (UTC) Правда,верните формулу тройного угла:)

Да уж, формул тройного угла по непонятной причине нету. 79.173.80.189 17:07, 25 февраля 2010 (UTC) 79.173.80.189 17:08, 25 февраля 2010 (UTC)

Теперь есть. efpies 23:13, 25 февраля 2010 (UTC)

Это как это?

1) может, не "Формулы понижения степени", а "формулы УВЕЛИЧЕНИЯ степени"? Значения тригонометрических ф-ций действительно уменьшаются - с УВЕЛИЧЕНИЕМ их степеней.

2)" Формулы понижения степени выводятся с помощью формул косинуса двойного угла??? Вы не ошибаетесь? Мне казалось они выводятся из формул произведения через сумму. И если они действительно выводятся из данных формул косинуса двойного угла, можете ли Вы добавить процесс их выведения в статью, как это уже сделано с некоторыми формулами? 212.122.74.153 15:07, 12 октября 2012 (UTC)

Арк-функции

Может быть, стоит добавить формулы сумм арктангенсов, арккотангенсов?..

Еще тригонометрические тождества

Желательно добавить вот эти тождества вместе с их выводом:

$\sin \alpha +\sin \beta +\sin \gamma =4\cdot \cos {\frac {\alpha }{2}}\cdot \cos {\frac {\beta }{2}}\cdot \cos {\frac {\gamma }{2}}$

$\mathrm {tg} \alpha +\mathrm {tg} \beta +\mathrm {tg} \gamma =\mathrm {tg} \alpha \cdot \mathrm {tg} \beta \cdot \mathrm {tg} \gamma$

$\mathrm {ctg} {\frac {\alpha }{2}}+\mathrm {ctg} {\frac {\beta }{2}}+\mathrm {ctg} {\frac {\gamma }{2}}=\mathrm {ctg} {\frac {\alpha }{2}}\cdot \mathrm {ctg} {\frac {\beta }{2}}\cdot \mathrm {ctg} {\frac {\gamma }{2}}$

81.7.104.121 16:00, 18 октября 2012 (UTC)212.122.74.153 12:10, 19 октября 2012 (UTC)212.122.74.153 12:22, 19 октября 2012 (UTC)

Эти формулы уже есть в разделе Треугольник § Тригонометрические тождества только с углами Можно скопировать

37.76.170.226 07:37, 13 июля 2018 (UTC)

Надо отметить, что эти формулы частные. Они подходят только для углов треугольника.

37.76.170.226 07:43, 13 июля 2018 (UTC)

При переводе в PDF

Статья скачалась хорошо, но "Вывод формул" и другие дополнительные эпизоды (те, которые в html можно, нажав на кнопку, развернуть, а потом скрыть опять) не вошли в PDF. А для меня как раз они-то и были важны. В html я скачать не могу. --Li Pigeon 07:21, 22 января 2013 (UTC)

Формулы сложения гармонических колебаний

--НеСказочник 09:41, 30 января 2013 (UTC)
Формулы сложения гармонических колебаний в разделе 10 не полные. Вот более общий вариант:

пусть
S1 = A1 * sin(w * t + f1)
S2 = A2 * sin(w * t + f2), где A1 и A2 - амплитуды колебаний, w - частота, а f1 и f2 - фазы.

колебания S1 и S2 соответственно, тогда сумма этих колебаний

Sr = S1 + S2 = A1 * sin(w * t + f1) + A2 * sin(w * t + f2) = Ar * sin(w * t + fr), где

амплитуда результирующего колебания Ar = (a + b)^0.5
фаза результирующего колебания fr = arcsin(b/((a + b)^0.5)), при

a = A1 * cos(f1) + A2 * cos(f2)
b = A1 * sin(f1) + A2 * sin(f2)

Доказательство:

по формуле (4) раздела 2 этой же статьи:

S1 = A1 * sin(w * t + f1) = A1 * sin(w * t) * cos(f1) + A1 * cos(w * t) * sin(f1)
S2 = A2 * sin(w * t + f2) = A2 * sin(w * t) * cos(f2) + A2 * cos(w * t) * sin(f2)

тогда S1 + S2 = A1 * sin(w * t + f1) + A2 * sin(w * t + f2) =

= A1 * sin(w * t) * cos(f1) + A1 * cos(w * t) * sin(f1) + A2 * sin(w * t) * cos(f2) + A2 * cos(w * t) * sin(f2)

перегруппировав члены получим

S1 + S2 = sin(w * t) * (A1 * cos(f1) + A2 * cos(f2)) + cos(w * t) * (A2 * sin(f2) + A1 * sin(f1))

по формуле из раздела 10 этой же статьи получим:

S1 + S2 = (a + b)^0.5 * sin(w * t + arcsin(b/((a + b)^0.5))), где

a = A1 * cos(f1) + A2 * cos(f2)
b = A1 * sin(f1) + A2 * sin(f2).

Тогда, если принять Ar = (a + b)^0.5 и fr = arcsin(b/((a + b)^0.5)), получим конечный вариант

Sr = S1 + S2 = A1 * sin(w * t + f1) + A2 * sin(w * t + f2) = Ar * sin(w * t + fr)

О нумерации формул в статье

Предлагаю нумеровать формулы двойной нумерацией — раздел и формула в разделе: (1.1), (1.2) и т.д. А то, когда их много, за номерами трудно следить, при вставке одной формулы все следующие надо сдвигать. Уже сейчас есть две формулы (4). Dmitry Fomin 14:16, 13 ноября 2013 (UTC)

Формулы сложения гармонических колебаний 2

Я там исправил формулу $a\sin x+b\cos x={\sqrt {a^{2}+b^{2}}}\sin(x+\arcsin {\frac {b}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}})$ - в ней содержится ошибка. Дело в том, что нельзя просто записать $\phi =\arcsin {\frac {b}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}$. Можно продемонстрировать на примере, когда эта формула будет неверна. Пусть $a=-{\frac {1}{\sqrt {2}}}$, $b={\frac {1}{\sqrt {2}}}$. Тогда $-{\frac {1}{\sqrt {2}}}\sin x+{\frac {1}{\sqrt {2}}}\cos x=sin(x+{\frac {3\pi }{4}})$. А по формуле $a\sin x+b\cos x={\sqrt {a^{2}+b^{2}}}\sin(x+\arcsin {\frac {b}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}})$ получится $-{\frac {1}{\sqrt {2}}}\sin x+{\frac {1}{\sqrt {2}}}\cos x=sin(x+{\frac {\pi }{4}})$. Очевидно, что $sin(x+{\frac {\pi }{4}})$ и $sin(x+{\frac {3\pi }{4}})$ - это разные функции. Clothclub 15:50, 17 апреля 2014 (UTC)

Формулы преобразования произведений функций

Есть формулы преобразования произведений 3 функций (синусов и/или косинусов ). Может, кто-то их впишет. Они есть в справочнике Бронштейна и Семендяева.

37.76.170.226 07:30, 13 июля 2018 (UTC)

Полезные тождества

Есть формулы преобразования синусов и косинусов в бесконечные произведения квадратичных двучленов. Может, кто-то их впишет. Они есть в справочнике Двайта.

37.76.170.226 07:34, 13 июля 2018 (UTC)