Объединение множеств

Объедине́ние мно́жеств (тж. су́мма или соедине́ние) в теории множеств — множество, содержащее в себе все элементы исходных множеств. Объединение двух множеств $A$ и $B$ обычно обозначается $A$ ∪ $B$, но иногда можно встретить запись в виде суммы $A+B$.

Объединение A и B

Определения

Объединение двух множеств

Пусть даны два множества $A$ и $B$. Тогда их объединением называется множество

$A\cup B=\{x\mid x\in A\vee x\in B\}.$

Объединение семейства множеств

Пусть дано семейство множеств $\{M_{\alpha }\}_{\alpha \in A}.$ Тогда его объединением называется множество, состоящее из всех элементов всех множеств семейства:

$\bigcup \limits _{\alpha \in A}M_{\alpha }=\{x\mid \exists \alpha \in A,\;x\in M_{\alpha }\}.$

Свойства

• Объединение множеств является бинарной операцией на произвольном булеане $2^{X};$
• Операция объединения множеств коммутативна:

  $A\cup B=B\cup A;$

• Операция объединения множеств ассоциативна:

  $(A\cup B)\cup C=A\cup (B\cup C);$

• Операция объединения множеств дистрибутивна относительно операции пересечения:

  $\left(\bigcap _{k}A_{k}\right)\cup B=\bigcap _{k}\left(A_{k}\cup B\right)$

• Пустое множество $X$ является нейтральным элементом операции объединения множеств:

  $A\cup \varnothing =A;$

• Таким образом булеан вместе с операцией объединения множеств является моноидом;
• Операция объединения множеств идемпотентна:

  $A\cup A=A.$

Примеры

• Пусть $A=\{1,2,3,4,5\},B=\{3,4,5,6,7,8\}.$ Тогда

$A\cup B=\{1,2,3,4,5,6,7,8\};$

• $\bigcup \limits _{n\in \mathbb {Z} }[n,n+1]=\mathbb {R} .$

См. также

• Дизъюнктное объединение
• Операции над множествами