Ортогональные траектории

Ортогональные траектории — линии, пересекающие заданное семейство кривых под прямым углом. Если $y_{1}'$ — угловой коэффициент касательной к ортогональной траектории, а $y_{2}'$ — угловой коэффициент касательной к кривой данного семейства, то $y_{1}'$ и $y_{2}'$ должны в каждой точке удовлетворять условию ортогональности:

$y_{1}'=-{1 \over y_{2}'}$

Пусть у нас есть семейство кривых $g(x,y)=C$, где $C$ — константа. Тогда ортогональные траектории могут быть найдены путём решения системы дифференциальных уравнений:

$\nabla f(x,y)\cdot \nabla g(x,y)=0$

Используя определение градиента, можно записать:

$\nabla f(x,y)=\left({\frac {\partial f}{\partial x}},{\frac {\partial f}{\partial y}}\right)$

Таким образом:

$\nabla f(x,y)\cdot \nabla g(x,y)=\left({\frac {\partial f}{\partial x}},{\frac {\partial f}{\partial y}}\right)\cdot \left({\frac {\partial g}{\partial x}},{\frac {\partial g}{\partial y}}\right)={\frac {\partial f}{\partial x}}\cdot {\frac {\partial g}{\partial x}}+{\frac {\partial f}{\partial y}}\cdot {\frac {\partial g}{\partial y}}=0$

Примеры

Пусть у нас есть семейство прямых линий, проходящих через начало координат, заданных уравнением $y=kx$. Дифференцируя данное уравнение по переменной $x$, получаем:

$y'=k=\mathrm {const}$

Исключим параметр $k$ из системы:

${\begin{cases}y=kx\\y'=k\end{cases}}\Rightarrow y'={\frac {y}{x}}$

Заменим $y'$ на $\left(-{\frac {1}{y'}}\right)$:

$-{\frac {1}{y'}}={\frac {y}{x}}\Rightarrow y'=-{\frac {x}{y}}\Rightarrow {\frac {dy}{dx}}=-{\frac {x}{y}}$

Мы получили типичное дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными. Интегрируя, получаем:

$ydy=-xdx\Rightarrow \int {ydy}=-\int {xdx}\Rightarrow {\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {y^{2}}{2}}=C$

Данное уравнение есть не что иное, как уравнение окружности радиуса ${\sqrt {2C}}$. Действительно:

$R^{2}=2C\Rightarrow x^{2}+y^{2}=R^{2}$

Литература

Эльсгольц Л. Э. Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление. М.: Наука, 1969. (стр. 23, Пример 8)

Ссылки

• Ортогональные траектории