Параметры Стокса

Параметры Стокса — это набор величин, описывающих вектор поляризации электромагнитных волн, введенный в физику Дж. Стоксом в 1852 году. Параметры Стокса являют собой альтернативу описанию некогерентного или частично поляризованного излучения в терминах полной интенсивности, степени поляризации и формы эллипса поляризации.

Определение

Сфера Пуанкаре позволяет визуализировать параметры Стокса как проекции вектора $I$ на координатные оси

Изображение поляризаций на сфере Пуанкаре

В случае плоской монохроматической волны параметры Стокса связаны с параметрами поляризационного эллипса следующим образом:

${\begin{aligned}S_{0}&=I=E_{a}^{2}+E_{b}^{2}\\S_{1}&=Q=I\cos 2\psi \cos 2\chi \\S_{2}&=U=I\sin 2\psi \cos 2\chi \\S_{3}&=V=I\sin 2\chi \end{aligned}}$

Поляризационный эллипс

Здесь $E_{a}$ и $E_{b}$ — большая и малая полуоси поляризационного эллипса, $\psi$— угол поворота поляризационного эллипса относительно произвольной лабораторной системы координат — носит название азимута эллиптически-поляризованного излучения (или кратко — азимут), а угол $\chi$, определяемый из условия отношения малой полуоси к большой $\mathrm {tg} \,{\chi }=E_{b}/E_{a}$— угол эллиптичности эллипса поляризации. Нетрудно заметить, что $S_{1}$, $S_{2}$ и $S_{3}$ являются проекциями $S_{0}$ на некие координатные оси. В итоге независимыми являются всего три параметра Стокса, поскольку:

$I^{2}=Q^{2}+U^{2}+V^{2}$

Параметры Стокса можно связать с величинами, непосредственно измеряемыми. Пусть $E_{1}$ и $E_{2}$ — амплитуды изменения вектора ${\vec {E}}$ в двух произвольных ортогональных направлениях, а $\delta$ — разность фаз колебаний в этих направлениях. Тогда:

${\begin{aligned}S_{0}&=I=E_{1}^{2}+E_{2}^{2}\\S_{1}&=Q=E_{1}^{2}-E_{2}^{2}\\S_{2}&=U=2E_{1}E_{2}\cos \delta \\S_{3}&=V=2E_{1}E_{2}\sin \delta \end{aligned}}$

Примечание: наряду с вариантами обозначений $S_{0}$, $S_{1}$, $S_{2}$, $S_{3}$ или $I$, $Q$, $U$, $V$ в некоторых научных традициях можно встретить обозначения параметров вектора $I$, $M$, $C$, $S$ или $I$, $P_{1}$, $P_{2}$, $P_{3}$ или $S_{1}$, $S_{2}$, $S_{3}$, $S_{4}$.

Частные случаи

Выразим с помощью параметров Стокса линейную поляризацию. В этом случае разность фаз в любых ортогональных направлениях должна составлять $\delta =m\pi$, где $m$ — целое число. Тогда получаем

${\begin{aligned}I&=E_{1}^{2}+E_{2}^{2}=E_{a}^{2}+E_{b}^{2}\\Q&=I\cos {2\chi }\cos {2\psi }=I{\frac {1}{I}}{\sqrt {I^{2}-(2E_{1}E_{2})^{2}\sin ^{2}\delta }}\cos {2\psi }=I\cos {2\psi }\\U&=I\cos {2\chi }\sin {2\psi }=I{\frac {1}{I}}{\sqrt {I^{2}-(2E_{1}E_{2})^{2}\sin ^{2}\delta }}\sin {2\psi }=I\sin {2\psi }\\V&=I\sin {2\chi }=I{\frac {2E_{1}E_{2}}{I}}\sin {\delta }=0\end{aligned}}$

Предположим, что лабораторная ось отсчёта была выбрана горизонтально, как часто это и делается. Если $\psi =0$, то мы получим горизонтальную линейную поляризацию, если $\psi =\pm {\frac {\pi }{2}}$, то это будет вертикальная линейная поляризация.

В таблице приведены значения параметров Стокса для трех частных случаев

Поляризация	Параметры Стокса
	$I$	$Q$	$U$	$V$
Линейная	$I$	$I\cos {2\psi }$	$I\sin {2\psi }$	$0$
Правая круговая	$I$	$0$	$0$	$I$
Левая круговая	$I$	$0$	$0$	$-I$

Векторы Стокса

Часто четыре параметра Стокса объединяют в один четырёхмерный вектор, именуемый вектором Стокса:

${\vec {S}}\ ={\begin{pmatrix}S_{0}\\S_{1}\\S_{2}\\S_{3}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}I\\Q\\U\\V\end{pmatrix}}$

Вектор Стокса охватывает пространство неполяризованного, частично поляризованного и полностью поляризованного излучения. Для сравнения, вектор Джонса применим только для полностью поляризованного излучения, но более полезен для задач связанных с когерентным излучением.

Влияние оптической системы на поляризацию света падающего на неё излучения, заданного вектором Стокса, можно рассчитать с помощью преобразования Мюллера.

Примеры

Ниже приведены векторы Стокса для некоторых простых вариантов поляризации света.

Горизонтальная поляризация	Вертикальная поляризация	Линейная поляризация (+45°)	Линейная поляризация (−45°)
${\begin{pmatrix}1\\1\\0\\0\end{pmatrix}}$	${\begin{pmatrix}1\\-1\\0\\0\end{pmatrix}}$	${\begin{pmatrix}1\\0\\1\\0\end{pmatrix}}$	${\begin{pmatrix}1\\0\\-1\\0\end{pmatrix}}$
Левая круговая поляризация	Правая круговая поляризация
${\begin{pmatrix}1\\0\\0\\-1\end{pmatrix}}$	${\begin{pmatrix}1\\0\\0\\1\end{pmatrix}}$
Неполяризованный свет
${\begin{pmatrix}1\\0\\0\\0\end{pmatrix}}$

Параметры Стокса для квазимонохроматического излучения

В квазимонохроматическом излучении присутствуют волны разных, хоть и близких частот. Пусть $a_{1}$ и $a_{2}$ — мгновенные амплитуды в двух взаимно-перпендикулярных направлениях. Тогда параметры Стокса задаются следующими выражениями:

${\begin{aligned}I&=\langle a_{1}^{2}\rangle +\langle a_{2}^{2}\rangle \\Q&=\langle a_{1}^{2}\rangle -\langle a_{2}^{2}\rangle \\U&=2\langle a_{1}a_{2}\cos \delta \rangle \\V&=2\langle a_{1}a_{2}\sin \delta \rangle \end{aligned}}$

Для определения параметров Стокса введем интенсивность колебаний $I(\theta ,\epsilon )$ в направлении, образующим угол $\theta$ с направлением осью Ox, когда их y-компонента запаздывает на величину $\epsilon$ по отношению к x-компоненте. Тогда

${\begin{aligned}I&=I(0^{\circ },0)+I(90^{\circ },0)\\Q&=I(0^{\circ },0)-I(90^{\circ },0)\\U&=I(45^{\circ },0)-I(135^{\circ },0)\\V&=I\left(45^{\circ },{\frac {\pi }{2}}\right)-I\left(135^{\circ },{\frac {\pi }{2}}\right)\end{aligned}}$

В отличие от монохроматического излучения, в квазимонохроматическом случае параметры Стокса независимы и связаны неравенством

$I^{2}\geqslant Q^{2}+U^{2}+V^{2}$

Это неравенство можно объяснить, предположив, что квазимонохроматическое излучение состоит из полностью поляризованного и полностью неполяризованного излучения. На основе этого можно ввести степень поляризации:

$p={\frac {\sqrt {Q^{2}+U^{2}+V^{2}}}{I}}$

Комплексное представление

Введем комплексную интенсивность линейно поляризованной волны

${\begin{matrix}L&\equiv &|L|e^{i2\theta }\\&\equiv &Q+iU.\\\end{matrix}}$

Можно показать, что при повороте $\theta \rightarrow \theta +\theta '$ поляризационного эллипса величины $I$ и $V$ остаются неизменными, а величины $L$, $Q$ и $U$ меняются следующим образом:

${\begin{matrix}L&\rightarrow &e^{i2\theta '}L,\\Q&\rightarrow &{\mbox{Re}}\left(e^{i2\theta '}L\right),\\U&\rightarrow &{\mbox{Im}}\left(e^{i2\theta '}L\right).\\\end{matrix}}$

Благодаря этим свойствам параметры Стокса можно свести к трем обобщенным интенсивностям:

${\begin{matrix}I&\geq &0,\\V&\in &\mathbb {R} ,\\L&\in &\mathbb {C} ,\\\end{matrix}}$

где $I$ — полная интенсивность, $|V|$ — интенсивность компоненты с круговой поляризацией, а $|L|$ — интенсивность линейно поляризованной компоненты излучения. Полная интенсивность поляризованного излучения будет $I_{p}={\sqrt {|L|^{2}+|V|^{2}}}$, а ориентация и направление вращения определяются отношениями

${\begin{matrix}\theta &=&{\frac {1}{2}}\arg(L),\\h&=&\operatorname {sgn}(V).\\\end{matrix}}$

Так как $Q={\mbox{Re}}(L)$, а $U={\mbox{Im}}(L)$, то

${\begin{matrix}|L|&=&{\sqrt {Q^{2}+U^{2}}},\\\theta &=&{\frac {1}{2}}\tan ^{-1}(U/Q).\\\end{matrix}}$

См. также

• Поляризация волн

Литература

• E. Collett, Field Guide to Polarization, SPIE Field Guides vol. FG05, SPIE (2005). ISBN 0-8194-5868-6.
• E. Hecht, Optics, 2nd ed., Addison-Wesley (1987). ISBN 0-201-11609-X.
• William H. McMaster. Polarization and the Stokes Parameters (англ.) // Am. J. Phys. : journal. — 1954. — Vol. 22. — P. 351. — doi:10.1119/1.1933744.
• William H. McMaster. Matrix representation of polarization (англ.) // Rev. Mod. Phys. : journal. — 1961. — Vol. 8. — P. 33. — doi:10.1103/RevModPhys.33.8.

Ссылки

• Stokes parameters and polarisation