Польское пространство

Польское пространство — пространство, гомеоморфное полному метрическому пространству со счётным плотным подмножеством.

Примеры польских пространств: вещественная прямая и любое открытое или замкнутое подмножество вещественной прямой; сепарабельное банахово пространство, множество Кантора; пространство Урысона.

Все замкнутые и открытые подмножества польского пространства — польское. Любое G-дельта-множество польского пространства — польское (теорема Александрова), притом верно и обратное — если подмножество польского пространства польское, то оно является G-дельта-множеством.

Прямое произведение польских пространств — польское.

Между любыми двумя несчётными польскими пространствами существует борелевская биекция, то есть биекция, которая переводит борелевские множества в борелевские. В частности, каждое несчётное польское пространство имеет мощность континуума.

Теорема Кантора — Бендиксона: любое замкнутое подмножество в польском пространстве представляется в виде дизъюнктного объединения совершенного подмножества, счётного и открытого подмножества.

Литература

• В. Г. Кановей, В. А. Любецкий. Современная теория множеств: борелевские и проективные множества. — МЦНМО, 2010. — 320 с. — ISBN 78-5-94057-683-9.