Последовательность Битти

Однородная последовательность Битти — последовательность целых чисел, являющихся целыми частями от положительных чисел, кратных положительному иррациональному числу. Последовательности Битти названы в честь Сэмюэля Битти[англ.], написавшего о них в 1926 году. Последовательности Битти также могут быть использованы для генерации последовательностей Штурма[англ.].

Определение последовательности Битти

править

Последовательность Битти, основанием для которой служит какое-либо положительное иррациональное число  , можно задать следующим образом:

 

В случае, если  , то   тоже является положительным иррациональным числом, причем две последовательности Битти, которые они задают, а именно,

  и
 ,

образуют пару комплементарных последовательностей Битти. Здесь слово «комплементарный» означает, что каждое положительное целое число принадлежит ровно к одной из этих двух последовательностей.

Примеры последовательностей Битти

править

В случае, где  , где   - золотое сечение, имеем  . В этом случае, последовательность  , становится нижней последовательностью Витхоффа:

  • 1, 3, 4, 6, 8, 9, 11, 12, 14, 16, 17, 19, 21, 22, 24, 25, 27, 29, ... последовательность A000201 в OEIS.

Комплементарной последовательностью  , является последовательность   - верхняя последовательность Витхоффа:

  • 2, 5, 7, 10, 13, 15, 18, 20, 23, 26, 28, 31, 34, 36, 39, 41, 44, 47, ... последовательность A001950 в OEIS.

С другой стороны, для  , имеем  . В этом случае вырождаются следующие последовательности:

  • 1, 2, 4, 5, 7, 8, 9, 11, 12, 14, 15, 16, 18, 19, 21, 22, 24, ... последовательность A001951 в OEIS и
  • 3, 6, 10, 13, 17, 20, 23, 27, 30, 34, 37, 40, 44, 47, 51, 54, 58, ... последовательность A001952 в OEIS.

Для   и   вырождаются последовательности

  • 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 25, 28, 31, 34, 37, 40, 43, 47, 50, 53, ... последовательность A022844 в OEIS и
  • 1, 2, 4, 5, 7, 8, 10, 11, 13, 14, 16, 17, 19, 20, 22, 23, 24, 26, ... последовательность A054386 в OEIS.

Любое число из первой последовательности отсутствует во второй, и наоборот.

История

править

Последовательность Битти получила свое название от задачи, поставленной в Американском математическом ежемесячнике Самуэлем Битти в 1926 году[1][2]. Это, вероятно, одна из наиболее часто цитируемых проблем, когда-либо поставленных в данном журнале. Однако даже раньше, в 1894 году, такие последовательности были кратко упомянуты Рэлеем во втором издании его книги «Теория звука»[3].

Теорема Рэлея о последовательности Битти (теорема Битти)

править

Теорема Рэлея, названная в честь лорда Рэлея, утверждает, что дополнение последовательности Битти, состоящее из положительных целых чисел, которые не находятся в последовательности, само по себе является последовательностью Битти, порожденной другим иррациональным числом[3].

Всегда существует  , такое, что последовательности   разбивают множество   на множества натуральных чисел  , такие, что каждый элемент этого множества принадлежит ровно к одной из двух последовательностей.

Доказательство

править

Пусть   и  . Докажем, что   , где операнд "|" является операндом "или". Мы сделаем это, рассматривая порядковые позиции, занимаемые всеми дробями   и  , совместно перечисленными в неубывающем порядке для  .

Чтобы увидеть, что никакие два числа не могут занимать одну и ту же позицию (как одно число), предположим, что, наоборот,  , тогда дроби  , но, в то же время,  , и эта дробь не принадлежит множеству целых чисел. Поэтому никакие два числа не занимают одну и ту же позицию.

Для любой дроби  , существует ровно   чисел   и ровно   чисел  , так что позиция дроби   в своеобразном массиве будет  . Уравнение   превращается в следующее:

 .

Аналогично, позиция дроби   в массиве будет  .

Вывод: каждое положительное целое число (то есть каждая позиция в списке) имеет вид   или  , но не оба одновременно. Обратное утверждение также верно: если  , так что каждое положительное целое число встречается ровно один раз в приведенном выше списке, то  .

Обобщения

править

Если немного её изменить, то теорема Рэлея может быть обобщена на положительные действительные числа (не обязательно иррациональные), а также на отрицательные целые числа: если положительные действительные числа удовлетворяют   и   удовлетворяют  , последовательности   и   образуют раздел целых чисел. Например, белые и черные клавиши клавиатуры фортепиано распределяются в виде таких последовательностей для   и  .

Теорема Ламбека-Мозера обобщает теорему Рэлея и демонстрирует, что более общие пары последовательностей, определяемые из целочисленной функции и её обратной функции, обладают тем же свойством разбивать целые числа.

Теорема Успенского утверждает, что если   положительные действительные числа, такие как  , содержат все положительные целые числа ровно один раз, тогда   То есть не существует эквивалента теоремы Рэлея для трех или более последовательностей Битти[4][5].

Важными темами в последовательности Битти являются: простые числа и суммы значений арифметических функций.

Список литературы

править
  1. Beatty, Samuel;. Problem 3173 (англ.) // American Mathematical Monthly : journal. — 1926. — Vol. 33, no. 3. — P. 159. — doi:10.2307/2300153.
  2. S. Beatty; A. Ostrowski; J. Hyslop; A. C. Aitken. Solutions to Problem 3173 (англ.) // American Mathematical Monthly : journal. — 1927. — Vol. 34, no. 3. — P. 159—160. — doi:10.2307/2298716. — JSTOR 2298716.
  3. 1 2 John William Strutt, 3rd Baron Rayleigh. The Theory of Sound. — Second. — Macmillan, 1894. — Т. 1. — С. 123.
  4. J. V. Uspensky, On a problem arising out of the theory of a certain game, Amer. Math. Monthly 34 (1927), pp. 516–521.
  5. R. L. Graham, On a theorem of Uspensky Архивная копия от 17 февраля 2021 на Wayback Machine, Amer. Math. Monthly 70 (1963), pp. 407–409.

Литература для дополнительного чтения

править

Ссылки

править