Проблема круга Гаусса

Проблема круга Гаусса — задача определения количества точек целочисленной решётки, попадающих в круг радиуса r с центром в начале координат. Первый успех в решении этой задачи был сделан Гауссом, в честь него и названа проблема.

Проблема

В круге в $\mathbb {R} ^{2}$с центром в начале координат радиусом $r\geqslant 0$ необходимо определить количество точек внутри круга, имеющих вид (m,n), где m и n — целые числа. Поскольку в декартовых координатах уравнение круга задается формулой: x² + y² = r², эквивалентной формулировкой задачи станет вопрос: какое количество пар целых чисел m и n удовлетворяет неравенству

$m^{2}+n^{2}\leqslant r^{2}.$

Если для заданного r обозначить искомое значение через N(r), то следующий список дает значения N(r) для значений целого радиуса r между 0 и 10:

1, 5, 13, 29, 49, 81, 113, 149, 197, 253, 317 (последовательность A000328 в OEIS).

Границы значений и гипотезы

Поскольку площадь круга радиуса r задается формулой πr², то следовало бы ожидать, что число точек будет около πr². На самом деле значение слегка больше этой величины на некоторую поправку E(r)

$N(r)=\pi r^{2}+E(r)$

Поиск верхней границы этой поправки и составляет суть проблемы.

Гаусс показал, что

$E(r)\leqslant 2{\sqrt {2}}\pi r.$

Харди и, независимо, Эдмунд Ландау нашли меньшее значение границы, показав, что

$E(r)\neq o\left(r^{1/2}(\log r)^{1/4}\right),$

в нотации o-малое. Существует гипотеза, что истинное значение равно

$E(r)=O\left(r^{1/2+\varepsilon }\right).$

Если переписать последнее выражение в виде $\|E(r)\|\leqslant Cr^{t}$, то текущие границы числа t равны

${\frac {1}{2}}<t\leqslant {\frac {131}{208}}=0{,}6298\ldots ,$

где нижняя граница выведена Харди и Ландау в 1915 году, а верхняя доказана Мартином Хаксли (Martin Huxley) в 2000 году.

В 2007 году Силвейн Кэппелл (Sylvain Cappell) и Юлиус Шейнисон (Julius Shaneson) выложили в arXiv статью, содержащую доказательство границы $O(r^{{\frac {1}{2}}+\epsilon })$.

Точное представление

Значение N(r) можно представить как сумму некоторых последовательностей. Если использовать функцию округления вниз, то значение может быть выражено как

$N(r)=1+4\sum _{i=0}^{\infty }\left(\left\lfloor {\frac {r^{2}}{4i+1}}\right\rfloor -\left\lfloor {\frac {r^{2}}{4i+3}}\right\rfloor \right).$

Много проще выглядит представление с использованием функции r₂(n), которая определяется как количество способов представить число n в виде суммы двух квадратов. В этом случае

$N(r)=\sum _{n=0}^{r^{2}}r_{2}(n).$

Обобщения

Хотя начальная формулировка задачи говорила о целочисленных решетках в круге, нет причин останавливаться только на круге. Можно ставить задачу нахождения числа точек решетки в других фигурах или конусах. «Проблема делителей» Дирихле эквивалентна данной задаче при замене круга гиперболой. Можно также распространить задачу на большие размерности, и говорить о числе точек внутри n-мерной сферы или другого объекта. Можно отказаться от геометрического представления проблемы и перейти к диофантовым неравенствам.

Проблема круга для взаимно простых чисел

Другим обобщением может служить вычисление количества взаимно простых целых решений m и n уравнения

$m^{2}+n^{2}\leqslant r^{2}.$

Эта задача известна как проблема круга для взаимно простых чисел или проблема круга для примитивных чисел Если обозначить число таких решений через V(r), то V(r) для малых целых значений радиуса r равны

0, 4, 8, 16, 32, 48, 72, 88, 120, 152, 192, … последовательность A175341 в OEIS.

Используя те же самые идеи, что и для обычной проблемы Гаусса, и исходя из факта, что вероятность взаимной простоты двух чисел равна 6/π², относительно легко показать, что

$V(r)={\tfrac {6}{\pi }}r^{2}+O(r^{1+\varepsilon }).$

Как и в обычной постановке, задача для взаимно простых чисел заключается в уменьшении показателя экспоненты в поправке. На настоящее время лучшим известным показателем является ${\tfrac {221}{304}}+\epsilon$, если принять гипотезу Римана. Без принятия гипотезы Римана наилучшей верхней границей является

$V(r)={\tfrac {6}{\pi }}r^{2}+O(r\exp(-c(\log r)^{3/5}(\log \log r^{2})^{-1/5}))$

для некоторой положительной постоянной c.

В частности, неизвестны границы поправки вида $1-\epsilon$ для любого $\epsilon >0$, если не принимать гипотезу Римана.

См. также

• Геометрия чисел

Ссылки

• Weisstein, Eric W. Gauss's Circle Problem (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.