Противоположная теорема

Противоположная теорема — это утверждение, в котором условие и заключение исходной теоремы заменены их отрицаниями. Каждая теорема может быть выражена в форме импликации $A\Rightarrow B$, в которой посылка $A$ является условием теоремы, а следствие $B$ является заключением теоремы. Тогда теорема, записанная в виде ${\overline {A}}\Rightarrow {\overline {B}}$ является противоположной к ней. Здесь ${\overline {A}}$ — отрицание $A$, ${\overline {B}}$ — отрицание $B$. Доказательство необходимости и достаточности условий $A$ теоремы $A\Rightarrow B$ для её заключения $B$ сводится к доказательству одной из двух противоположных теорем ($A\Rightarrow B$ и ${\overline {A}}\Rightarrow {\overline {B}}$; $B\Rightarrow A$ и ${\overline {B}}\Rightarrow {\overline {A}}$) или одной из двух обратных теорем ($A\Rightarrow B$ и $B\Rightarrow A$; ${\overline {A}}\Rightarrow {\overline {B}}$ и ${\overline {B}}\Rightarrow {\overline {A}}$).

Если условие и/или заключение теоремы являются сложными суждениями, то противоположная теорема допускает множество не равносильных друг другу формулировок. Например, если условием теоремы является $A$, а заключением $Y\Rightarrow Z$: $A\Rightarrow (Y\Rightarrow Z)$, то для противоположной теоремы существует пять форм:

1. ${\overline {A}}\Rightarrow ({\overline {Y\Rightarrow Z}})$
2. ${\overline {Y}}\Rightarrow ({\overline {A\Rightarrow Z}})$
3. ${\overline {A\And Y}}\Rightarrow {\overline {Z}}$
4. $A\Rightarrow ({\overline {Y}}\Rightarrow {\overline {Z}})$
5. $Y\Rightarrow ({\overline {A}}\Rightarrow {\overline {Z}})$

Свойства

• Прямая теорема эквивалентна теореме, противоположной обратной: $(A\Rightarrow B)\Leftrightarrow ({\overline {B}}\Rightarrow {\overline {A}})$
• Обратная теорема эквивалентна противоположной прямой: $(B\Rightarrow A)\Leftrightarrow ({\overline {A}}\Rightarrow {\overline {B}})$

Примеры

• Теорему Пифагора можно сформулировать следующим образом:

Если в треугольнике со сторонами длиной $a$, $b$ и $c$ угол, противолежащий стороне $c$, прямой, то $a^{2}+b^{2}=c^{2}$.

Противоположная к теореме Пифагора теорема может быть сформулирована следующим образом:

Если в треугольнике со сторонами длиной $a$, $b$ и $c$ угол, противолежащий стороне $c$, не является прямым, то $a^{2}+b^{2}\neq c^{2}$.

См. также

• Обратная теорема

Литература

• Эдельман С.Л. Математическая логика. — М.: Высшая школа, 1975. — 176 с.
• Градштейн И.С. Прямая и обратная теоремы. Элементы алгебры логики. — М.: Наука, 1965. — 127 с.