Равносторонний многоугольник

Равносторонний многоугольник — многоугольник, у которого все стороны равны. Например, равносторонний треугольник — это треугольник, у которого все три стороны одинаковы; все равносторонние треугольники подобны и имеют внутренние углы 60 градусов. Равносторонний четырёхугольник — это ромб, и квадрат является частным случаем ромба.

Равносторонний треугольник, всегда является правильным треугольником

Равносторонний четырёхугольник (ромб)

Свойства

Равносторонний многоугольник, который также и равноуголен является правильным многоугольником.

Равносторонний многоугольник, вписанный в окружность (его вершины лежат на окружности) является правильным многоугольником (то есть многоугольником, одновременно и равносторонним, и равноугольным).

Описанный многоугольник (у которого существует окружность, касающаяся всех его сторон) является равносторонним в том и только в том случае, когда углы через один равны (то есть, при последовательной нумерации углов углы с номерами 1, 3, 5, … равны и углы 2, 4, … равны). Таким образом, если $n$ — нечётно, описанный многоугольник является равносторонним в том и только в том случае, когда он правильный.

Все равносторонние четырёхугольники выпуклы, но существуют вогнутые равносторонние пятиугольники, как и выпуклые равносторонние многоугольники с большим числом сторон.

Каждая главная диагональ шестиугольника делит его на четырёхугольники. В любом выпуклом равностороннем шестиугольнике с общей стороной $a$ существует главная диагональ $d_{1}$, такая что:

${\frac {d_{1}}{a}}\leqslant 2$,

и главная диагональ $d_{2}$, такая, что:

${\frac {d_{2}}{a}}>{\sqrt {3}}$.

Существует конечная последовательность элементарных отражений, переводящих любой равносторонний многоугольник в правильный.

Теорема Вивиани

Теорема Вивиани в части постоянства суммы расстояний от произвольной внутренней точки до каждой из сторон обобщается для равносторонних многоугольников. Действительно, представив стороны многоугольника в виде векторов $(a_{i},b_{i})$, притом выбрав направления так, чтобы конец одного вектора был началом другого, сумма этих векторов равна нулю, а следовательно:

$\sum _{i=1}^{n}a_{i}=0$, $\sum _{i=1}^{n}b_{i}=0$.

Без умаления общности можно считать, что все длины векторов равны 1. Повернув все векторы на 90° в одном направлении, получатся векторы $(-b_{i},a_{i})$, и все они будут нормалями к сторонам. Уравнение прямой, проходящей через сторону $i$ будет задаваться уравнением $-b_{i}x+a_{i}y+c_{i}=0$. Поскольку длина вектора равна единице, расстояние до прямой от любой точки $(x,y)$ плоскости будет равно $-b_{i}x+a_{i}y+c_{i}$ (расстояние может быть отрицательным — зависит от того, в какой полуплоскости лежит точка), а сумма расстояний равна $\sum _{i=1}^{n}(-b_{i}x+a_{i}y+c_{i})=-x\sum _{i=1}^{n}b_{i}+y\sum _{i=1}^{n}a_{i}+\sum _{i=1}^{n}c_{i}=\sum _{i=1}^{n}c_{i}$, то есть, не зависит от положения точки.

Площадь и периметр равносторонних многоугольников

• Если $n$ нечётно, то правильный $n$-угольник единичного диаметра даёт максимальную возможную площадь и периметр.
• Правильный $n$-угольник является единственным решением в задаче нахождения максимальной площади фигуры единичного диаметра, если $n$ нечётно, но в задаче нахождения максимального периода при $n$ нечётном решение единственно только для простых $n$.
• Если $n$ чётно и $n\geqslant 6$, то правильный $n$-угольник единичного диаметра не даёт ни максимальной площади, ни максимального периметра.
• Если $n$ имеет нечётный делитель, то любой многоугольник с максимальным периметром является равносторонним.

См. также

• Равносторонний пятиугольник

Ссылки

• Equilateral triangle With interactive animation
• A Property of Equiangular Polygons: What Is It About? a discussion of Viviani’s theorem at Cut-the-knot.