Распределение Бернулли

Распределе́ние Берну́лли в теории вероятностей и математической статистике — дискретное распределение вероятностей, моделирующее случайный эксперимент произвольной природы, при заранее известной вероятности успеха или неудачи.

Распределение Бернулли
Функция вероятности
Функция распределения
Параметры	$p\in (0,1)$ $q\equiv 1-p$
Носитель	$k=\{0,1\}$
Функция вероятности	${\begin{matrix}q&k=0\\p~~&k=1\end{matrix}}$
Функция распределения	${\begin{matrix}0&k<0\\q&0\leq k<1\\1&k\geq 1\end{matrix}}$
Математическое ожидание	$p$
Мода	${\begin{cases}0,&q>p\\0,1,&q=p\\1,&q<p\end{cases}}$
Дисперсия	$pq$
Коэффициент асимметрии	${\frac {q-p}{\sqrt {pq}}}$
Коэффициент эксцесса	${\frac {6p^{2}-6p+1}{p(1-p)}}$
Дифференциальная энтропия	$-q\ln q-p\ln p$
Производящая функция моментов	$q+pe^{t}$
Характеристическая функция	$q+pe^{it}$

Определение

Случайная величина $X$ имеет распределение Бернулли, если она принимает всего два значения: $1$ и $0$ с вероятностями $p$ и $q\equiv 1-p$ соответственно. Таким образом:

$\mathbb {P} (X=1)=p$,

$\mathbb {P} (X=0)=q$.

Принято говорить, что событие $\{X=1\}$ соответствует «успеху», а событие $\{X=0\}$ — «неудаче». Эти названия условные, и в зависимости от конкретной задачи могут быть заменены на противоположные.

Свойства

Предельное свойство

Предельное свойство описывается теоремой Пуассона:

Пусть есть последовательность серий испытаний Бернулли, где $p_{n}$ — вероятность «успеха», $\mu _{n}$ — количество «успехов».

Тогда если

1. $\lim _{n\to \infty }p_{n}=0;$
2. $\lim _{n\to \infty }np_{n}=\lambda ;$
3. $\lambda >0,$

то $\lim _{n\to \infty }P(\omega :\mu _{n}(\omega )=m)=e^{-\lambda }{\cfrac {\lambda ^{m}}{m!}}.$

Моменты распределения Бернулли

$\mathbb {E} [X]=p$,

$\operatorname {D} [X]=p(1-p)=pq$, так как: $\operatorname {E} X^{2}-\left(\operatorname {E} X\right)^{2}=p-p^{2}=p\cdot (1-p)=pq$.

Вообще, легко видеть, что

$\mathbb {E} \left[X^{n}\right]=\Pr(X=1)\cdot 1^{n}+\Pr(X=0)\cdot 0^{n}=p\cdot 1^{n}+q\cdot 0^{n}=p=\mathbb {E} [X],\forall n\in \mathbb {N}$

Замечание

Если независимые случайные величины $X_{1},\ldots ,X_{n}$, имеют распределение Бернулли с вероятностью успеха $p$, то

$Y=\sum \limits _{i=1}^{n}X_{i}$

имеет биномиальное распределение с $n$ степенями свободы.

См. также

• Задача о разорении игрока#Схема Бернулли.

Литература

• Hazewinkel, Michiel, ed. (2001), "Binomial distribution", Encyclopedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4