Гамма-распределение

Га́мма-распределе́ние в теории вероятностей — это двухпараметрическое семейство абсолютно непрерывных распределений. Если параметр $k$ принимает целое значение, то такое гамма-распределение также называется распределе́нием Эрла́нга.

Гамма распределение
Плотность вероятности
Функция распределения
Обозначение	$\Gamma (k,\theta )$ или $\Gamma (\alpha ,\beta )$
Параметры	$k>0,\;\theta >0$
Носитель	$x\in (0,\infty )$
Плотность вероятности	${\frac {1}{\Gamma (k)\theta ^{k}}}x^{k-1}e^{-{\frac {x}{\theta }}}$
Функция распределения	${\frac {1}{\Gamma (k)}}\gamma \left(k,{\frac {x}{\theta }}\right)$
Математическое ожидание	$k\theta$
Медиана	Отсутствует явное выражение в замкнутой форме
Мода	$(k-1)\theta$ при $k\geq 1$
Дисперсия	$k\theta ^{2}$
Коэффициент асимметрии	${\frac {2}{\sqrt {k}}}$
Коэффициент эксцесса	${\frac {6}{k}}$
Дифференциальная энтропия	${\begin{aligned}k&+\ln \theta +\ln \Gamma (k)\\&+(1-k)\psi (k)\end{aligned}}$
Производящая функция моментов	$(1-\theta t)^{-k}$ при $t<{\frac {1}{\theta }}$
Характеристическая функция	$(1-\theta it)^{-k}$

Определение

Пусть распределение случайной величины $X$ задаётся плотностью вероятности, имеющей вид

$f_{X}(x)=\left\{{\begin{matrix}x^{k-1}{\frac {e^{-x/\theta }}{\theta ^{k}\,\Gamma (k)}},&x\geq 0\\0,&x<0\end{matrix}}\right.,$ где $\Gamma (k)$ — гамма-функция Эйлера.

Тогда говорят, что случайная величина $X$ имеет гамма-распределение с положительными параметрами $\theta$ и $k$. Пишут $X\thicksim \Gamma (k,\theta )$.

Замечание. Иногда используют другую параметризацию семейства гамма-распределений. Или вводят третий параметр — сдвиг.

Моменты

Математическое ожидание и дисперсия случайной величины $X$, имеющей гамма-распределение, имеют вид

$\mathbb {E} [X]=k\theta$,

$\mathbb {D} [X]=k\theta ^{2}$.

Свойства гамма-распределения

• Если $X_{1},\ldots ,X_{n}$ — независимые случайные величины, такие что $X_{i}\sim \Gamma (k_{i},\theta ),\;i=1,\ldots ,n$, то

$Y=\sum \limits _{i=1}^{n}X_{i}\sim \Gamma \left(\sum _{i=1}^{n}k_{i},\theta \right)$.

• Если $X\thicksim \Gamma (k,\theta )$, и $a>0$ — произвольная константа, то

$aX\thicksim \Gamma (k,a\theta )$.

• Гамма-распределение бесконечно делимо.

Связь с другими распределениями

• Гамма-распределение является распределением Пирсона типа III.
• Экспоненциальное распределение является частным случаем гамма-распределения:

$\Gamma (1,1/\lambda )\equiv \mathrm {Exp} (\lambda )$.

• Если $X_{1},\ldots ,X_{k}$ — независимые экспоненциальные случайные величины, такие что $X_{i}\sim \mathrm {Exp} (\lambda ),\;i=1,\ldots ,k$, то

$Y=\sum \limits _{i=1}^{k}X_{i}\sim \Gamma (k,1/\lambda )$.

• Распределение хи-квадрат является частным случаем гамма-распределения:

$\Gamma \left({\frac {n}{2}},2\right)\equiv \chi ^{2}(n)$.

• Согласно центральной предельной теореме, при больших $k$ гамма-распределение может быть приближено нормальным распределением:

$\Gamma (k,\theta )\approx \mathrm {N} (k\theta ,k\theta ^{2})$ при $k\to \infty$.

• Если $X_{1},X_{2}$ — независимые случайные величины, такие что $X_{i}\sim \Gamma (k_{i},1),\;i=1,2$, то

${\frac {X_{1}}{X_{1}+X_{2}}}\sim \mathrm {\mathrm {B} } (k_{1},k_{2})$.

• Распределение Рэлея заменой переменной сводится к гамма-распределению.
• Обычное распределение Вейбулла заменой переменной сводится к гамма-распределению.
• Распределение Накагами заменой переменной сводится к гамма-распределению.
• Естественным обобщением гамма-распределения является усеченное гамма-распределение.

Моделирование гамма-величин

Учитывая свойство масштабирования по параметру θ, указанное выше, достаточно смоделировать гамма-величину для θ = 1. Переход к другим значениям параметра осуществляется простым умножением.

Используя тот факт, что распределение $\Gamma (1,1)$ совпадает с экспоненциальным распределением, получаем, что если U — случайная величина, равномерно распределённая на интервале (0, 1], то ${-\ln U}\sim \Gamma (1,1)$.

Теперь, используя свойство k-суммирования, обобщим этот результат:

$\sum _{i=1}^{n}{-\ln U_{i}}\sim \Gamma (n,1),$

где U_i — независимые случайные величины, равномерно распределённые на интервале (0, 1].

Осталось смоделировать гамма-величину для 0 < k < 1 и ещё раз применить свойство k-суммирования. Это является самой сложной частью.

Ниже приведён алгоритм без доказательства. Он является примером выборки с отклонением.

1. Положить m равным 1.
2. Сгенерировать $V_{2m-1}$ и $V_{2m}$ — независимые случайные величины, равномерно распределённые на интервале (0, 1].
3. Если $V_{2m-1}\leq v_{0}$, где $v_{0}={\frac {e}{e+\delta }}$, перейти к шагу 4, иначе к шагу 5.
4. Положить $\xi _{m}=\left({\frac {V_{2m-1}}{v_{0}}}\right)^{\frac {1}{\delta }},\ \eta _{m}=V_{2m}\xi _{m}^{\delta -1}$. Перейти к шагу 6.
5. Положить $\xi _{m}=1-\ln {\frac {V_{2m-1}-v_{0}}{1-v_{0}}},\ \eta _{m}=V_{2m}e^{-\xi _{m}}$.
6. Если $\eta _{m}>\xi _{m}^{\delta -1}e^{-\xi _{m}}$, то увеличить m на единицу и вернуться к шагу 2.
7. Принять $\xi =\xi _{m}$ за реализацию $\Gamma (\delta ,1)$.

Подытожим:

$\theta \left(\xi -\sum _{i=1}^{[k]}{\ln U_{i}}\right)\sim \Gamma (k,\theta ),$

где [k] является целой частью k, а ξ сгенерирована по алгоритму, приведённому выше при δ = {k} (дробная часть k); U_i и V_l распределены как указано выше и попарно независимы.

Литература

• Лагутин М.Б. Наглядная математическая статистика. — М.: Бином, 2009. — 472 с.
• Жуковский М.Е., Родионов И.В. Основы теории вероятностей. — М.: МФТИ, 2015. — 82 с.
• Жуковский М.Е., Родионов И.В., Шабанов Д.А. Введение в математическую статистику. — М.: МФТИ, 2017. — 109 с.
• Королюк В.С., Портенко Н.И., Скороход А.В., Турбин А.Ф. Справочник по теории вероятностей и математической статистике. — М.: Наука, 1985. — 640 с.