Расстояние между прямыми

В данной статье рассматриваются две параллельные прямые на плоскости. Для параллельных прямых, расположенных не в одной плоскости, смотрите Скрещивающиеся прямые#расстояние.

Расстояние между двумя прямыми линиями на плоскости — это наименьшее расстояние между любыми двумя точками, лежащими на этих прямых. В случае пересекающихся линий расстояние между ними равно нулю, потому что минимальное расстояние между ними равно нулю (в точке пересечения), в то время как в случае двух параллельных линий это перпендикуляр — расстояние от точки на одной прямой к другой прямой.

Формулы и доказательства

Если линии параллельны, то расстояние между ними — это постоянная величина, так что не важно, какая точка выбрана, чтобы измерить расстояние. Даны уравнения двух параллельных линий

$y=mx+b_{1}\,$

$y=mx+b_{2}\,,$

расстояние между двумя параллельными прямыми — это расстояние между двумя точками пересечения этих линий с перпендикуляром

$y=-x/m\,.$

Это расстояние может быть найдено при решении системы линейных уравнений

${\begin{cases}y=mx+b_{1}\\y=-x/m\,,\end{cases}}$

и

${\begin{cases}y=mx+b_{2}\\y=-x/m\,,\end{cases}}$

чтобы получить координаты точек пересечения. Определяем координаты точки пересечения

$\left(x_{1},y_{1}\right)\ =\left({\frac {-b_{1}m}{m^{2}+1}},{\frac {b_{1}}{m^{2}+1}}\right)\,,$

и

$\left(x_{2},y_{2}\right)\ =\left({\frac {-b_{2}m}{m^{2}+1}},{\frac {b_{2}}{m^{2}+1}}\right)\,.$

Расстояние между точками

$d={\sqrt {\left({\frac {b_{1}m-b_{2}m}{m^{2}+1}}\right)^{2}+\left({\frac {b_{2}-b_{1}}{m^{2}+1}}\right)^{2}}}\,,$

которое можно сократить, как

$d={\frac {|b_{2}-b_{1}|}{\sqrt {m^{2}+1}}}\,.$

Если известны уравнения прямых в декартовой системе координат, то можно их записать:

$ax+by+c_{1}=0\,$

$ax+by+c_{2}=0,\,$

где расстояние между прямыми можно записать так

$d={\frac {|c_{2}-c_{1}|}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}.$

См. также

• Расстояние от точки до линии
• Скрещивающиеся прямые#расстояние