Расстояние от точки до прямой на плоскости

Расстояние от точки до прямой на плоскости — это кратчайшее расстояние от точки до прямой в евклидовой геометрии. Расстояние равно длине отрезка, который соединяет точку с прямой и перпендикулярен прямой. Формула вычисления расстояния может быть получена и выражена несколькими способами.

Знание наименьшего расстояния от точки до прямой может быть полезно во многих случаях, например, для поиска кратчайшего пути для выхода на дорогу, определение разброса графа, и подобное. В регрессии Деминга, процедуре линейного сглаживания, если зависимые и независимые переменные имеют одну и ту же дисперсию, регрессия сводится к ортогональной регрессии, в которой степень приближения измеряется для каждой точки как расстояние от точки до регрессионной прямой.

Декартова система координат

Прямая задана уравнением

Когда прямая на плоскости задана уравнением ax + by + c = 0, где a, b и c — такие вещественные константы, что a и b не равны нулю одновременно, и расстояние от прямой до точки (x₀,y₀) равно

$\operatorname {distance} (ax+by+c=0,(x_{0},y_{0}))={\frac {|ax_{0}+by_{0}+c|}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}.$

Точка на прямой, наиболее близкая к (x₀,y₀), имеет координаты

$x={\frac {b(bx_{0}-ay_{0})-ac}{a^{2}+b^{2}}}$ и $y={\frac {a(-bx_{0}+ay_{0})-bc}{a^{2}+b^{2}}}.$

Горизонтальные и вертикальные прямые

В общем уравнении прямой ax + by + c = 0 коэффициенты a и b не могут быть одновременно равны нулю пока c ненулевое, а в случае всех нулевых коэффициентов уравнение не задаёт прямую. Если a = 0, а b ≠ 0, прямая горизонтальна и имеет уравнение y = -c/b. Расстояние от (x₀, y₀) до этой прямой определяется вертикальным отрезком длины |y₀ — (-c/b)| = |by₀ + c| / |b| (согласно формуле). Аналогичным образом, для вертикальных прямых (b = 0) расстояние между той же точкой и прямой равно |ax₀ + c| / |a| и измеряется вдоль горизонтального отрезка.

Нормированное уравнение прямой

Нормированное уравнение прямой — это уравнение вида

$x\cos \alpha +y\sin \alpha -p=0$

Нормированное уравнение получается из общего уравнения прямой ax + by + c = 0 делением всех членов на ${\sqrt {a^{2}+b^{2}}}$. Тогда расстояние от точки (x₀, y₀) до прямой равно абсолютному значению отклонения и вычисляется по формуле

$|d|=|x_{0}\cos \alpha +y_{0}\sin \alpha -p|$

Прямая задана двумя точками

Если прямая проходит через две точки P₁=(x₁,y₁) и P₂=(x₂,y₂), и необходимо найти расстояние от $M=(x_{0},y_{0})$ до прямой, то можно воспользоваться следующими способами:

Способ 1. Искомое расстояние равно

$\operatorname {distance} (P_{1},P_{2},(x_{0},y_{0}))={\frac {|(y_{2}-y_{1})x_{0}-(x_{2}-x_{1})y_{0}+x_{2}y_{1}-y_{2}x_{1}|}{\sqrt {(y_{2}-y_{1})^{2}+(x_{2}-x_{1})^{2}}}}.$

Знаменатель этого выражения равен расстоянию между точками P₁ и P₂. Числитель равен удвоенной площади треугольника с вершинами (x₀,y₀), P₁ и P₂ (см. Общая формула площади треугольника в декартовых координатах). Выражение эквивалентно ${\textstyle h={\frac {2A}{b}}}$, что может быть получено преобразованием стандартной формулы площади треугольника: ${\textstyle A={\frac {1}{2}}bh}$, где b — длина стороны, а h — высота на эту сторону из противолежащей вершины.

Способ 2. Сначала находится ближайшая точка на прямой к точке $M$ по формуле

$M_{p}=P_{1}+{\overrightarrow {P_{1}P_{2}}}*{({\overrightarrow {P_{1}P_{2}}},{\overrightarrow {P_{1}M}}) \over \lVert {\overrightarrow {P_{1}P_{2}}}\rVert ^{2}}$.

Тогда искомое расстояние равно

$\operatorname {distance} (P_{1},P_{2},M)=\lVert {\overrightarrow {MM_{p}}}\rVert$.

Доказательства

Алгебраическое доказательство

Это доказательство верно, только когда прямая не является ни вертикальной, ни горизонтальной. То есть мы предполагаем, что ни a, ни b в уравнении не равны нулю.

Прямая с уравнением ax + by + c = 0 имеет наклон -a/b, так что любая прямая, перпендикулярная к заданной, имеет наклон b/a. Пусть (m, n) — точка пересечения прямой ax + by + c = 0 и перпендикулярной прямой, проходящей через точку (x₀, y₀). Прямая, проходящая через эти две точки, перпендикулярна исходной прямой, так что

${\frac {y_{0}-n}{x_{0}-m}}={\frac {b}{a}}.$

Таким образом, $a(y_{0}-n)-b(x_{0}-m)=0,$ и после возведения в квадрат получим:

$a^{2}(y_{0}-n)^{2}+b^{2}(x_{0}-m)^{2}-2ab(y_{0}-n)(x_{0}-m)=0.$

Рассмотрим,

$(a(x_{0}-m)+b(y_{0}-n))^{2}=a^{2}(x_{0}-m)^{2}+2ab(y_{0}-n)(x_{0}-m)+b^{2}(y_{0}-n)^{2}=(a^{2}+b^{2})((x_{0}-m)^{2}+(y_{0}-n)^{2})$

Здесь использовано возведённое в квадрат выражение. Но

$(a(x_{0}-m)+b(y_{0}-n))^{2}=(ax_{0}+by_{0}-am-bn)^{2}=(ax_{0}+by_{0}+c)^{2}$,

так как точка (m, n) расположена на прямой ax + by + c = 0. Таким образом,

$(a^{2}+b^{2})((x_{0}-m)^{2}+(y_{0}-n)^{2})=(ax_{0}+by_{0}+c)^{2}$

Из этого получаем длину отрезка между этими двумя точками:

$d={\sqrt {(x_{0}-m)^{2}+(y_{0}-n)^{2}}}={\frac {|ax_{0}+by_{0}+c|}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}.$ .

Геометрическое доказательство

Это доказательство верно, только когда прямая не является ни вертикальной, ни горизонтальной. Баллантин и Джерберт не упомянули это ограничение в своей статье.

Опустим перпендикуляр из точки P с координатами (x₀, y₀) на прямую с уравнением Ax + By + C = 0. Обозначим основание перпендикуляра буквой R. Проведём вертикальную прямую через P и обозначим пересечение этой вертикальной прямой с исходной прямой буквой S. В произвольной точке T на прямой нарисуем прямоугольный треугольник TVU, катеты которого являются горизонтальными и вертикальными отрезками, а длина горизонтального отрезка равна |B| (см. рисунок). Вертикальный катет треугольника ∆TVU будет иметь длину |A|, поскольку наклон прямой равен -A/B.

Треугольники ∆SRP и ∆UVT подобны, так как они оба прямоугольные и ∠PSR ≅ ∠VUT, поскольку являются соответственными углами двух параллельных прямых PS и UV (вертикальные прямые) и секущей (исходная прямая). Выпишем отношения сторон этих треугольников:

${\frac {|{\overline {PR}}|}{|{\overline {PS}}|}}={\frac {|{\overline {TV}}|}{|{\overline {TU}}|}}.$

Если точка S имеет координаты (x₀,m), то |PS| = |y₀ — m| и расстояние от P до прямой равно:

$|{\overline {PR}}|={\frac {|y_{0}-m||B|}{\sqrt {A^{2}+B^{2}}}}.$

Поскольку S находится на прямой, мы можем найти значение m,

$m={\frac {-Ax_{0}-C}{B}},$

и получаем:

$|{\overline {PR}}|={\frac {|Ax_{0}+By_{0}+C|}{\sqrt {A^{2}+B^{2}}}}.$

Другой вариант этого доказательства — поместить точку V в точку P и вычислить площадь треугольника ∆UVT двумя способами, после чего получим $D|{\overline {TU}}|=|{\overline {VU}}||{\overline {VT}}|$, где D — высота треугольника ∆UVT на гипотенузу из точки P. Формула расстояния может быть использована, чтобы выразить $|{\overline {TU}}|$, $|{\overline {VU}}|$ и $|{\overline {VT}}|$в терминах координат P и коэффициентов уравнения исходной прямой, в результате чего получим требуемую формулу.

Доказательство с помощью проекции вектора

Рисунок доказательства с помощью проекции вектора

Пусть P — точка с координатами (x₀, y₀) и пусть исходная прямая имеет уравнение ax + by + c = 0. Пусть Q = (x₁, y₁) — любая точка на прямой и n — вектор (a, b) с началом в точке Q. Вектор n перпендикулярен прямой, и расстояние d от точки P до прямой равно длине ортогональной проекции ${\overrightarrow {QP}}$ на n. Длина этой проекции равна:

$d={\frac {|{\overrightarrow {QP}}\cdot \mathbf {n} |}{\|\mathbf {n} \|}}.$

Теперь

${\overrightarrow {QP}}=(x_{0}-x_{1},y_{0}-y_{1}),$ так что ${\overrightarrow {QP}}\cdot \mathbf {n} =a(x_{0}-x_{1})+b(y_{0}-y_{1})$ и $\|\mathbf {n} \|={\sqrt {a^{2}+b^{2}}}.$

Тогда

$d={\frac {|a(x_{0}-x_{1})+b(y_{0}-y_{1})|}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}.$

Поскольку Q лежит на прямой, $c=-ax_{1}-by_{1}$, а тогда

$d={\frac {|ax_{0}+by_{0}+c|}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}.$

Другие формулы

Можно получить другие выражения для кратчайшего расстояния от точки до прямой. Эти выводы тоже требуют, чтобы прямая не была вертикальной или горизонтальной.

Пусть точка P задана координатами ($x_{0},y_{0}$). Пусть прямая задана уравнением $y=mx+k$. Уравнение прямой, перпендикулярной исходной прямой и проходящей через точку P, задаётся уравнением $y={\frac {x_{0}-x}{m}}+y_{0}$.

Точка, в которой эти две прямые пересекаются, является ближайшей точкой на исходной прямой для точки P. Тогда:

$mx+k={\frac {x_{0}-x}{m}}+y_{0}.$

Мы можем решить это уравнение по x,

$x={\frac {x_{0}+my_{0}-mk}{m^{2}+1}}.$

Координату y точки пересечения можно найти, подставив значение x в уравнение исходной прямой,

$y=m{\frac {(x_{0}+my_{0}-mk)}{m^{2}+1}}+k.$

Подставив полученные значения в формулу расстояния $d={\sqrt {(X_{2}-X_{1})^{2}+(Y_{2}-Y_{1})^{2}}}$, получим формулу кратчайшего расстояния от точки до прямой:

$d={\sqrt {\left({{\frac {x_{0}+my_{0}-mk}{m^{2}+1}}-x_{0}}\right)^{2}+\left({m{\frac {x_{0}+my_{0}-mk}{m^{2}+1}}+k-y_{0}}\right)^{2}}}.$

Если заметить, что m = -a/b и k = -c/b для уравнения ax + by + c = 0, после небольших выкладок получим стандартное выражение.

Формулировка с помощью векторов

Иллюстрация формулировки с помощью векторов.

Запишем прямую в векторном виде:

$\mathbf {x} =\mathbf {a} +t\mathbf {n}$,

где x — вектор, задающий координаты любой точки на прямой, n — единичный вектор в направлении прямой, a — вектор, задающий две координаты точки на прямой, а t — скаляр. То есть для получения точки x на прямой начинаем с точки a на прямой и двигаемся на расстояние t вдоль прямой.

Расстояние от произвольной точки p до прямой задаётся формулой

$\operatorname {distance} (\mathbf {x} =\mathbf {a} +t\mathbf {n} ,\mathbf {p} )=\|(\mathbf {a} -\mathbf {p} )-((\mathbf {a} -\mathbf {p} )\cdot \mathbf {n} )\mathbf {n} \|.$

Эта формула геометрически строится следующим образом: $\mathbf {a} -\mathbf {p}$ — это вектор из p в точку a на прямой. Тогда $(\mathbf {a} -\mathbf {p} )\cdot \mathbf {n}$ — это длина проекции на прямую, а тогда

$((\mathbf {a} -\mathbf {p} )\cdot \mathbf {n} )\mathbf {n}$

— это вектор, являющийся проекцией $\mathbf {a} -\mathbf {p}$ на прямую. Тогда

$(\mathbf {a} -\mathbf {p} )-((\mathbf {a} -\mathbf {p} )\cdot \mathbf {n} )\mathbf {n}$

является компонентой вектора $\mathbf {a} -\mathbf {p}$, перпендикулярной прямой. Следовательно, расстояние от точки до прямой равно норме этого вектора. Эта формула может быть использована и в более высоких размерностях.

Другая формулировка с помощью векторов

Если векторное пространство ортонормально, а прямая (d ) проходит через точку B и имеет вектор направления ${\vec {u}}$, то расстояние от точки A до прямой (d) равно

$d(\mathrm {A} ,(d))={\frac {\left\|{\overrightarrow {\mathrm {BA} }}\wedge {\vec {u}}\right\|}{\|{\vec {u}}\|}}$,

где ${\overrightarrow {\mathrm {BA} }}\wedge {\vec {u}}$ — векторное произведение векторов ${\overrightarrow {\mathrm {BA} }}$ и ${\vec {u}}$, а $\|{\vec {u}}\|$ — норма вектора ${\vec {u}}$.

Обобщения

• Расстояние от точки в трёхмерном пространстве до плоскости задаётся аналогичной формулой:

$\operatorname {distance} (ax+by+cz+d=0,(x_{0},y_{0},z_{0}))={\frac {|ax_{0}+by_{0}+cz_{0}+d|}{\sqrt {a^{2}+b^{2}+c^{2}}}}.$

См. также

• Пересечение двух прямых
• Расстояние между двумя прямыми
• Расстояние между скрещивающимися прямыми

Литература

• Делоне Б. Н., Райков Д. А. . Аналитическая геометрия. T. 1. — М., Л.: ОГИЗ, 1948. — 456 с.
• Моденов П. С. . Аналитическая геометрия. — М.: Изд-во Моск. ун-та, 1967. — 697 с.
• Привалов И. И. . Аналитическая геометрия. 13-е изд. — М.: Наука, 1966. — 272 с.
• Федотов А. Г., Карпов Б. В. . Аналитическая геометрия. — М.: МГИЭМ, 2005. — 158 с. — ISBN 5-94506-116-6.
• Anton H. . Elementary Linear Algebra. 7th ed. — Somerset: John Wiley & Sons, 1994. — ISBN 0-471-58742-7.
• Ballantine J. P., Jerbert A. R.  Distance from a Line or Plane to a Point // American Mathematical Monthly. — 1952. — Vol. 59. — P. 242—243. — doi:10.2307/2306514.
• Larson R., Hostetler R. . Precalculus: A Concise Course. — Boston: Houghton Mifflin, 2007. — xvii + 526 + 102 p. — ISBN 0-618-62719-7.
• Laudański L. M. . Between Certainty and Uncertainty: Statistics and Probability in Five Units with Notes on Historical Origins and Illustrative Numerical Examples. — Berlin; Heidelberg: Springer Verlag, 2014. — x + 318 p. — (Intelligent Systems Reference Library, vol. 31). — ISBN 978-3-642-25696-7.

Дополнительная литература

• Deza M. M., Deza E. . Encyclopedia of Distances. 2nd ed. — Berlin; Heidelberg: Springer Verlag, 2013. — xviii + 650 p. — ISBN 978-3-642-30957-1. — P. 86.