Случайная перестановка

Случайная перестановка — это случайное упорядочение множества объектов, то есть случайная величина, элементарными событиями которой являются перестановки. Использование случайных перестановок зачастую является базой в областях, использующих рандомизированные алгоритмы. К таким областям относятся теория кодирования, криптография и моделирование. Хорошим примером случайной перестановки является тасование колоды карт.

Генерация случайных перестановок

Прямой метод (элемент за элементом)

Одним из методов генерации случайной перестановки множества из n элементов является использование равномерного распределения, для чего выбираются последовательно случайные числа между 1 и n, обеспечивая при этом отсутствие повторений. Полученная последовательность (x₁, …, x_n) интерпретируется как перестановка

${\begin{pmatrix}1&2&3&\cdots &n\\x_{1}&x_{2}&x_{3}&\cdots &x_{n}\\\end{pmatrix}},$

Прямой метод генерации требует повторения выбора случайного числа, если выпавшее число уже есть в последовательности. Этого можно избежать, если на i-м шаге (когда x₁, …, x_{i − 1} уже выбраны), выбирать случайное число j между 1 и n − i + 1 и, затем, выбирать x_i, равным j-му невыбранному числу.

Тасование Кнута

Простой алгоритм генерации случайных перестановок из n элементов (с равномерным распределением) без повторов, известный как тасование Кнута, начинается с произвольной перестановки (например, с тождественной — без перестановки элементов), и проходит с позиции 1 до позиции n − 1, переставляя элемент на позиции i со случайно выбранным элементом на позициях от i до n включительно. Легко показать, что таким способом мы получим все перестановки n элементов с вероятностью в точности 1/n!.

Статистика на случайных перестановках

Неподвижные точки

Основная статья: Число встреч (комбинаторика)

Распределение вероятностей числа неподвижных точек в равномерно распределенных случайных перестановках на n элементах приближается к закону Пуассона при росте n. Подсчет числа неподвижных точек является классическим примером использования формулы включений-исключений, которая показывает, что вероятность отсутствия неподвижных точек приближается к 1/e. При этом математическое ожидание числа неподвижных точек равно 1 при любом размере перестановки.

Проверка случайности

Как и во всех других случайных процессах, качество алгоритма генерации перестановок, в частности, алгоритма тасования Кнута, зависит от положенного в основание генератора случайных чисел, такого как генератор псевдослучайных чисел. Имеется большое число возможных тестов случайности, например, тесты diehard. Типичный пример такого теста заключается в выборе некоторой статистики, для которой распределение известно, и проверить, действительно ли распределение этой статистики на множестве полученных перестановок достаточно близко к настоящему распределению.

См. также

• Постоянная Голомба — Дикмана
• Алгоритмы тасования — метод случайной сортировки, метод итеративных перестановок
• Случайная перестановка
• Криптоанализ LEX
• Задача о 100 узниках и 100 ящиках

Литература

• Jim Pitman. Probability. — Springer Science & Business Media, 2012. — P. 153–. — ISBN 978-1-4612-4374-8.
• В. Г. Потемкин «Справочник по MATLAB» Работа с разреженными матрицами. Описано использование процедуры randperm генерации случайных перестановок в пакете MathLab.
• Альфред В. Ахо, Джон Хопкрофт, Джеффри Д. Ульман. Структуры данных и алгоритмы. — Издательский дом "Вильямс", 2003. — С. 129-130. — ISBN 0-201-00023-7 / 5-8459-0122-7.
• Альфред В Ахо, Джон Э Хопкрофт, Джеффри Д Ульман. Алгоритмы. Построение и анализ. — Санкт-Петербург, Москва, Киев: Издательский дом "Вильямс", 2007. — С. 152-153 Глава 5. Вероятностный анализ и рандомизированные алгоритмы.
• Арнольд В.И. Экспериментальное наблюдение математических фактов. — М.: МЦНМО, 2006. — С. 66-84. — (Летняя школа «Современная математика»). — ISBN 978-5-94057-282-4.
• Т. Кристиансен,Н. Торкингтон. Perl. Библиотека программиста. — Питер, 2001. — С. В главе 4 "Массивы" рассматривается все, что относится к операциям со списками и массивами, в том числе поиск уникальных элементов, эффективная сортировка и случайные перестановки элементов.. — ISBN 5-8046-0094-X.
• Кормен Т., Лейзерсон Ч., Ривест Р., Штайн K. Алгоритмы: построение и анализ. — М.: "Вильямc", 2005. — С. Глава 5.3 Рандомизированные алгоритмы. — ISBN 5-8459-0857-4.
• Борис Николаевич Иванов. Дискретная математика. Алгоритмы и программы. Расширенный курс. — М.: Известия, 2011. — С. 180, Случайные перестановки. — ISBN 978-5-206-00824-1.
• И.В. Красиков, И.Е. Красиков. Алгоритмы. Просто как дважды два. — М.: Эксмо, 2007. — ISBN 978-5-699-21047-3.
• Б.Н. Иванов. Дискретная математика. Алгоритмы и программы: Учеб. пособие. Просто как дважды два. — М.: Лаборатория Базовых Знаний, 2003. — С. 89. 4.8 Генерация случайных перестановок. — (Технический университет). — ISBN 5-93208-093-0.

Ссылки

• Random permutation на MathWorld
• Random permutation generation — детальное изложение алгоритма тасования Кнута и его вариантов для генерации перестановок k-перестановок (перестановок k элементов, выбранных из списка) и k-подмножеств
• Герасимов Василий Александрович. Генерация случайных сочетаний. Генерация сочетания по его порядковому номеру. RSDN Magazine #3-2010