Совершенная степень

Совершенная степень — положительное целое число $n$, являющееся целой степенью $k$ положительного целого числа $m$: $n=m^{k}$. При $k=2,3$ число $n$ называется соответственно совершенным (полным) квадратом и совершенным кубом. Иногда числа 0 и 1 также считаются совершенными степенями (так как $0^{k}=0$ и $1^{k}=1$ для любого $k>0$).

Демонстрация палочками Кюизенера природы совершенной степени чисел 4, 8 и 9.

Последовательность совершенных степеней может быть сформирована путём перебора возможных значений для $m$ и $k$; первые несколько её членов (включая повторяющиеся):

$2^{2}=4,\ 2^{3}=8,\ 3^{2}=9,\ 2^{4}=16,\ 4^{2}=16,\ 5^{2}=25,\ 3^{3}=27,$ $2^{5}=32,\ 6^{2}=36,\ 7^{2}=49,\ 2^{6}=64,\ 4^{3}=64,\ 8^{2}=64,\dots$

Первые совершенные степени без дубликатов таковы:

(иногда 0 и 1), 4, 8, 9, 16, 25, 27, 32, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 125, 128, 144, 169, 196, 216, 225, 243, 256, 289, 324, 343, 361, 400, 441, 484, 512, 529, 576, 625, 676, 729, 784, 841, 900, 961, 1000, 1024, …

Свойства

Сумма обратных совершенных степеней (включая дубликаты, такие как $3^{4}=9^{2}=81$) равна 1:

$\sum _{m=2}^{\infty }\sum _{k=2}^{\infty }{\frac {1}{m^{k}}}=1$,

что можно доказать следующим образом:

$\sum _{m=2}^{\infty }\sum _{k=2}^{\infty }{\frac {1}{m^{k}}}=\sum _{m=2}^{\infty }{\frac {1}{m^{2}}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{m^{k}}}=\sum _{m=2}^{\infty }{\frac {1}{m^{2}}}\left({\frac {m}{m-1}}\right)=\sum _{m=2}^{\infty }{\frac {1}{m(m-1)}}=\sum _{m=2}^{\infty }\left({\frac {1}{m-1}}-{\frac {1}{m}}\right)=1$.

Сумма ряда обратных величин совершенных степеней (не включая единицу) без дубликатов равна:

$\sum _{i}{\frac {1}{n_{i}}}=\sum _{k=2}^{\infty }\mu (k)(1-\zeta (k))\approx 0{,}874464368\dots$,

где $\mu (k)$ — функция Мёбиуса, а $\zeta (k)$ — дзета-функция Римана.

Согласно Эйлеру, в одном из утерянных писем Гольдбах показал, что сумма чисел, обратных $n_{i}-1$ из последовательности совершенных степеней $\{n_{i}\}$ без единицы и дубликатов равна 1:

$\sum _{i}{\frac {1}{n_{i}-1}}={{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{7}}+{\frac {1}{8}}+{\frac {1}{15}}+{\frac {1}{24}}+{\frac {1}{26}}+{\frac {1}{31}}}+\cdots =1$,

иногда это утверждение называется теоремой Гольдбаха — Эйлера.

В 2002 году Преда Михэйлеску доказал, что единственная пара последовательных совершенных степеней — это $2^{3}=8,3^{2}=9$, тем самым доказав гипотезу Каталана.

Нерешённая проблема — гипотеза Пиллаи, согласно которой для любого заданного положительного целого числа $k$ существует только конечное число пар совершенных степеней, разность которых равна $k$.

Выявление совершенных степеней

Выявление того, является ли данное натуральное число $n$ совершенной степенью, может быть выполнено множеством различных способов с различными уровнями сложности. Один из простейших таких методов — рассмотреть все возможные значения для $k$ по каждому из делителей числа $n$ вплоть до $k<n$. Если делители $n$ равны $n_{1},n_{2},\dots ,n_{j}$, тогда одно из значений $n_{1}^{2},n_{2}^{2},\dots ,n_{j}^{2},n_{1}^{3},n_{2}^{3},\dots$ должно быть равно $n$, если $n$ действительно является совершенной степенью.

Этот метод можно сразу упростить, вместо этого рассматривая только простые значения $k$, поскольку для составного $k=ap$, где $p$ — простое число, $n=m^{k}$ может быть переписано как $n=m^{k}=m^{ap}=(m^{a})^{p}$. Из-за этого следует, что минимальное значение $k$ обязательно должно быть простым.

Если известна полная факторизация $n$, например, $n=p_{1}^{\alpha _{1}}p_{2}^{\alpha _{2}}\cdots p_{r}^{\alpha _{r}}$, где $p_{i}$ — различные простые числа, то $n$ — совершенная степень тогда и только тогда, когда $\gcd(\alpha _{1},\alpha _{2},\ldots ,\alpha _{r})>1$ ($\gcd$ — наибольший общий делитель). Например, для $n=2^{9624}$: поскольку $\gcd(96,60,24)=12$, $n$ — это совершенная 12-я степень (и совершенная 6-я степень, 4-я степень, куб и квадрат, поскольку 6, 4, 3 и 2 делят 12).

Ссылки

• Lluís Bibiloni, Pelegrí Viader, and Jaume Paradís, On a Series of Goldbach and Euler, 2004 (Pdf)