Соответствие Галуа

Соответствие Галуа (связь Галуа) — теоретико-порядковое соотношение между двумя математическими структурами, более слабое, чем изоморфизм, обобщающее связь из теории Галуа между подполями расширения и упорядоченной по включению системой подгрупп соответствующей ему группы Галуа. Понятие может быть распространено на любые структуры, наделённые отношением предпорядка.

Понятие введено Гарретом Биркгофом в 1940 году, им же и Ойстином Оре в 1940-е годы установлены основные свойства. Изначальное определение — антимонотонное, впоследствии в как общей алгебре, так и в приложениях стали чаще использовать альтернативное и двойственное ему в теоретико-категорном смысле монотонное определение.

Замыкание Галуа — операция, являющаяся замыканием, образованная композицией компонент соответствия Галуа; в антимонотонном случае обе возможные композиции функций соответствия образуют замыкания, в монотонном — только одна из таких композиций.

Соответствие Галуа широко используется в приложениях, в частности, играет основополагающую роль в анализе формальных понятий (методологии анализа данных средствами теории решёток).

Антимонотонное соответствие Галуа

Антимонотонное определение изначально дано Биркгофом и напрямую соответствует связи в теории Галуа. Согласно этому определению, соответствием Галуа называется всякая пара функций $\varphi :A\to B$ и $\psi :B\to A$ между частично-упорядоченными множествами $A$ и $B$, удовлетворяющая следующими соотношениям:

• если $a\leqslant a'$, то $\varphi (a)\geqslant \varphi (a')$ (антимонотонность $\varphi$),
• если $b\leqslant b'$, то $\psi (b)\geqslant \psi (b')$ (антимонотонность $\psi$),
• $\psi (\varphi (a))\geqslant a$ (экстенсивность $\psi \circ \varphi$),
• $\varphi (\psi (b))\geqslant b$ (экстенсивность $\varphi \circ \psi$).

Композиции $\psi \circ \varphi$ и $\varphi \circ \psi$ оказываются монотонными, а также обладают свойством идемпотентности ($(\psi \circ \varphi )\circ (\psi \circ \varphi )=\psi \circ \varphi$ и $(\varphi \circ \psi )\circ (\varphi \circ \psi )=\varphi \circ \psi$), таким образом, являются замыканиями на $B$ и $A$ соответственно.

Определение антимонотонного соответствия Галуа для антимонотонных функций $\varphi$ и $\psi$ следующему условию (Юрген Шмидт, 1953): $b\leqslant \varphi (a)$ тогда и только тогда, когда $a\leqslant \psi (b)$.

По аналогии с полярами в аналитической геометрии, связанные антимонотонным соответствием Галуа функции называют полярностями.

Монотонное соответствие Галуа

Монотонные функции $\gamma :A\to B$ и $\delta :B\to A$ находятся в монотонном соответствии Галуа, если выполнены следующие условия:

• $\gamma (\delta (b))\geqslant b$,
• $\delta (\gamma (a))\leqslant a$.

Эквивалентным данному определению является выполнение условия, двойственного условию Шмидта для антимонотонного варианта: $b\leqslant \gamma (a)$ тогда и только тогда, когда $\delta (b)\leqslant a$, часто оно принимается за начальное определение.

В случае монотонного соответствия Галуа также говорят о сопряжённости функций, так как в теории категорий такое соответствие даёт сопряжённые функторы. В отличие от антимонотонной формы, где компоненты соответствия (полярности) симметричны, в монотонном соответствии различают верхнюю сопряжённую функцию — значения которой участвуют в условии справа в отношениях порядка (в данном определении — $\gamma$, и нижнюю сопряжённую — значения которой участвуют в отношениях порядка из условия слева ($\delta$). Иногда говорят нижней сопряжённой функции как косопряжённой (в этом случае верхняя называется просто «сопряжённой»).

Оператором замыкания в монотонном соответствии Галуа является композиция $\delta \circ \gamma$, при этом композиция $\gamma \circ \delta$ замыканием не является, так для неё вместо экстенсивности выполнено обратное условие (функцию с таким набором свойств иногда называют ядерным оператором или козамыканием).

Сопряжённые функторы

Всякое частично-упорядоченное множество $(A,\leqslant )$ может быть рассмотрено как категория, в которой для каждой пары объектов $a,a'\in A$ множество морфизмов $\mathrm {Hom} (a,a')$ состоит из единственного морфизма, если $a\leqslant a'$ и пусто в противном случае. Для категорий, порождённых таким образом из частично-упорядоченных множеств $A$ и $B$, отображения $\gamma :A\to B$ и $\delta :B\to A$, находящиеся в монотонном соответствии Галуа, являются сопряжёнными функторами.

Сопряжёнными функторами также являются находящиеся в антимонотонном соответствии Галуа отображения $\varphi :A\to B^{\mathrm {op} }$ и $\psi :B\to A^{\mathrm {op} }$ ($A^{\mathrm {op} }$ — категория, двойственная $A$, то есть, полученная обращением морфизмов).

Свойства

Композиция соответствий

Соответствие Галуа, как в антимонотонной, так и в монотонной форме, может быть подвергнуто операции композиции — если заданы находящиеся в соответствии Галуа пары отображений $(\varphi _{1}:A\to B,\psi _{1}:B\to A)$ и $(\varphi _{2}:B\to C,\psi _{2}:C\to B$, то композиция:

$(\varphi _{2},\psi _{2})\circ (\varphi _{1},\psi _{1})=(\varphi _{2}\circ \varphi _{1},\psi _{1}\circ \psi _{2})$

вновь является соответствием Галуа.

Примеры

Теория Галуа и обобщения

В теории Галуа устанавливается соответствие между системой промежуточных подполей алгебраического расширения поля $L\supset K$ и системой подгрупп группы Галуа этого расширения.

Пример из теории Галуа может быть естественно обобщен: вместо группы автоморфизмов поля можно рассматривать произвольную группу $G$, действующую на множестве $U$ отображением $\cdot :G\times U\to U$, и отображения между упорядоченными по включению булеанами ${\mathcal {P}}U$ и ${\mathcal {P}}G$. В этом случае отображения $\varphi :{\mathcal {P}}U\to {\mathcal {P}}G$ и $\psi :{\mathcal {P}}G\to {\mathcal {P}}U$, определяемые следующим образом:

$\varphi (X)=\{\sigma \mid u\in X\Rightarrow \sigma \cdot u=u\}$ (выделяет подгруппу в $G$, оставляющую на месте все точки $u\in X$ при действии $\cdot$),

$\psi (S)=\{u\mid \sigma \in S\Rightarrow \sigma \cdot u=u\}$ (сопоставляет множеству $S\subseteq G$ множество неподвижных точек автоморфизмов при действии $\cdot$)

находятся в антимонотонном соответствии Галуа.

Следующее обобщение состоит в рассмотрении произвольных множеств, между которыми задано произвольное бинарное отношение $\star \subseteq A\times B$ и отображений между булеанами этих множеств ${\mathcal {P}}A$ и ${\mathcal {P}}B$, определяемых таким образом:

$\varphi (X)=\{y\in B\mid \forall (x\in X)x\star y\}$,

$\psi (Y)=\{x\in A\mid \forall (y\in Y)x\star y\}$.

В этом случае $\varphi$ и $\psi$ также находятся в антимонотонном соответствии Галуа.

Булеан и обобщения

C упорядоченным по включению булеаном произвольного множества ${\mathcal {P}}A$ и с некоторым зафиксированным его подмножеством $F\subseteq A$ может быть связано монотонное соответствие Галуа между отображениями $\varphi ,\psi :{\mathcal {P}}A\to {\mathcal {P}}A$, задаваемыми следующим образом:

$\varphi (X)=F\cap X$,

$\psi (X)=X\cup (A\setminus F)$.

Такое соотношение может быть установлено в любой алгебре Гейтинга, в частности, во всякой булевой алгебре (в булевых алгебрах в терминах алгебры логики роль верхней сопряжённой функции играет конъюнкция, а нижней сопряжённой — материальная импликация).

Литература

• Биркгоф Г. Теория решёток. — М.: Наука, 1984. — 567 с.
• G. Gierz, K. H. Hofmann, K. Keimel, J. D. Lawson, M. Mislow, D. S. Scott. Galois Connections // Continuous Lattices and Domains. — Cambridge: Cambridge University Press, 2003. — С. 22—35. — 629 с. — (Encyclopedia of Mathematics and Its Applications, vol. 93).
• Гретцер Г. Общая теория решёток. — М.: Мир, 1981. — 456 с.
• Маклейн С. Глава 4. Сопряжённые функторы // Категории для работающего математика = Categories for the working mathematician / Пер. с англ. под ред. В. А. Артамонова. — М.: Физматлит, 2004. — С. 95—128. — 352 с. — ISBN 5-9221-0400-4.

• Øystein Ore. Galois Connexions (англ.) // Transactions of the American Mathematical Society. — 1944. — Vol. 55. — P. 493—513. — ISSN 0002-9947. — doi:10.1090/S0002-9947-1944-0010555-7.