Степенной закон

В статистике степенной закон (англ. power law) — это такая функциональная зависимость между двумя величинами, при которой относительное изменение одной величины приводит к пропорциональному относительному изменению другой величины, независимо от исходных значений этих величин: зависимость одной величины от другой представляет собой степенную функцию. Например, рассмотрим зависимость площади квадрата от длины его стороны. Если длина будет увеличена вдвое, то площадь увеличится вчетверо.

Пример графика степенной функции, используемого для демонстрации ранжирования по популярности. Справа длинный хвост, а слева те немногие, что доминируют (см. принцип 80-20).

Примеры из практики

Во многих физических, биологических и искусственных явлениях наблюдаются распределения, приблизительно соответствующие степенному закону в различных масштабах: например, размеры лунных кратеров и солнечных вспышек, закономерности питания разных видов, активность популяций нейронов, частота употребления слов в большинстве языков, распространённость фамилий, число видов в кладах организмов, масштабы аварий в энергосистемах, число уголовных обвинений на одного преступника, количество извержений вулканов, человеческие оценки интенсивности стимулов и многие другие величины. Эмпирические распределения могут соответствовать степенному закону во всём диапазоне своих значений, либо, например, в хвосте. Затухание звуковых колебаний следует степенному закону в широких полосах частот во многих сложных средах. Аллометрические закономерности для отношений между биологическими переменными являются одними из самых известных примеров степенных законов в природе.

Свойства

Масштабная инвариантность

Для степенного закона характерна масштабная инвариантность. Если выполняется $f(x)=ax^{-k}$, то масштабирование аргумента $x$ на постоянный коэффициент $c$ приведёт к пропорциональному масштабированию самой функции. То есть:

$f(cx)=a(cx)^{-k}=c^{-k}f(x)\propto f(x),\!$

где $\propto$ обозначает прямую пропорциональность. Иными словами, умножение аргумента на постоянную величину $c$ приводит просто к умножению значения функции на постоянную величину $c^{-k}$. Таким образом, все степенные законы с заданным показателем степени эквивалентны с точностью до умножения на константу, поскольку все они представляют собой лишь масштабированные версии друг друга. Это порождает линейную зависимость между логарифмами величин $f(x)$ и $x$, и прямую линию на графике в двойном логарифмическом масштабе (log-log), которую часто считают характерным признаком степенного закона. В реальных данных это признак является необходимым, но не достаточным, чтобы сделать вывод о наличии степенного закона. Существует много способов сгенерировать конечные объёмы данных, имитирующих соответствие степенному закону, но отклоняющихся от него в асимптотическом пределе (например, если процесс генерации данных следует логнормальному распределению). Проверка моделей на соответствие степенному закону является актуальной областью исследований в статистике, см. ниже.

Отсутствие строго определённого среднего значения

Степенной закон $x^{-k}$ имеет строго определённое среднее значение при $x\in [1,\infty )$, только если $k>2$, и имеет конечную дисперсию, только если $k>3$. Для большинства известных степенных законов в природе значения показателя степени таковы, что среднее значение является строго определённым, а дисперсия нет, поэтому для них существует возможность возникновения событий типа «чёрный лебедь». Это можно показать на примере следующего мысленного эксперимента: представьте себя в комнате с друзьями и оцените среднемесячный доход в этой комнате. Теперь представьте, что в эту комнату вошёл самый богатый человек в мире с месячным доходом около 1 миллиарда US$. Как изменится значение среднемесячного дохода в комнате? Распределение доходов следует степенному закону, известному как распределение Парето (например, капиталы американцев распределены по степенному закону с показателем степени 2).

С одной стороны, это не позволяет корректно применять традиционную статистику, основанную на дисперсии и среднеквадратическом отклонении (например, регрессионный анализ). С другой стороны, это позволяет осуществлять эффективное по затратам вмешательство. К примеру, пусть выхлопные газы автомобилей распределены по степенному закону среди автомобилей (то есть большинство загрязнений осуществляется очень небольшим числом автомобилей). Тогда будет достаточно убрать с дорог это небольшое число автомобилей, чтобы существенно снизить общее количество выбросов.

Медиана существует: для степенного закона x ^-k с показателем степени $k>1$ она принимает значение 2^{1/(k — 1)}x_min, где x_min — это минимальное значение, для которого выполняется степенной закон

Проверка на соответствие степенному закону

Хотя степенной закон привлекателен по многим теоретическим причинам, доказательство того, что данные и в самом деле следуют степенному закону, требует больше, чем простого подбора параметров модели. Важно понимать механизм возникновения распределения: внешне похожие распределения могут возникать по существенно различным причинам, а разные модели дают разные прогнозы, например при экстраполяции.

См. также

• Аллометрия
• Сингулярность за конечное время
• Дробное исчисление
• Дробная динамика
• Гиперболический рост

• Длинный хвост
• Степенной закон вязкости жидкостей
• Устойчивое распределение
• Закон Стивенса
• Веб-граф

Литература

• Bak, Per (1997) How nature works, Oxford University Press ISBN 0-19-850164-1
• Clauset, A.; Shalizi, C. R.; Newman, M. E. J. Power-Law Distributions in Empirical Data (англ.) // SIAM Review. — 2009. — Vol. 51, no. 4. — P. 661—703. — doi:10.1137/070710111. — . — arXiv:0706.1062.
• Laherrère, J.; Sornette, D. Stretched exponential distributions in nature and economy: "fat tails" with characteristic scales (англ.) // The European Physical Journal B : journal. — 1998. — Vol. 2, no. 4. — P. 525—539. — doi:10.1007/s100510050276. — . — arXiv:cond-mat/9801293.

Ссылки

• Zipf’s law Архивная копия от 3 июня 2006 на Wayback Machine
• Zipf, Power-laws, and Pareto — a ranking tutorial
• Stream Morphometry and Horton’s Laws
• Clay Shirky on Institutions & Collaboration: Power law in relation to the internet-based social networks