Структура Ходжа

Структура Ходжа веса $n$, или чистая структура Ходжа — объект, состоящий из решётки $H_{\mathbb {Z} }$ в действительном векторном пространстве $H_{\mathbb {R} }=H_{\mathbb {Z} }\otimes \mathbb {R}$ и разложения $H_{\mathbb {C} }=\bigoplus _{n}H^{p,\;q}$, где $n=p+q$, комплексного векторного пространства $H_{\mathbb {C} }=H_{\mathbb {Z} }\otimes \mathbb {C}$, которое называется разложением Ходжа. При этом должно выполняться условие ${\bar {H}}^{p,\;q}=H^{q,\;p}$, где ${\bar {H}}^{p,\;q}$ — комплексное сопряжённое в $H_{\mathbb {C} }=H_{\mathbb {R} }\bigotimes _{\mathbb {R} }\mathbb {C}$.

Иначе, разложение Ходжа можно описать, используя понятие убывающей фильтрации, или фильтрации Ходжа, $F^{r}=\bigoplus _{p\geqslant r}H^{p,\;q}$ в $H_{\mathbb {C} }$ такой, что ${\bar {F}}^{s}\cap F^{r}=0$ при $r+s\neq n$. Тогда подпространства $H^{p,\;q}$ восстанавливаются по формуле $H^{p,\;q}={\bar {F}}^{p}\cap F^{q}$.

Данную структуру в пространстве $n$-мерных когомологий $H^{n}(X,\;\mathbb {C} )$ компактного кэлерова многообразия $X$ впервые изучил У. Ходж.

В этом случае подпространства $H^{p,\;q}$ описываются как пространства гармонических форм типа $(p,\;q)$ или как когомологии $H^{q}(X,\;\Omega ^{p})$ пучков $\Omega ^{p}$ голоморфных дифференциальных форм.

Фильтрация Ходжа в $H^{n}(X,\;\mathbb {C} )$ возникает из фильтрации комплекса пучков $\Omega =\sum _{p\geqslant 0}\Omega ^{p}$, $n$-мерные гиперкогомологии которого изоморфны $H^{n}(X,\;\mathbb {C} )$, подкомплексами вида $\sum _{r\geqslant p}\Omega ^{r}$.

Смешанная структура Ходжа

Более общим понятием является смешанная структура Ходжа — это объект, состоящий из решётки $H_{\mathbb {Z} }$ в $H_{\mathbb {R} }=H_{\mathbb {Z} }\otimes \mathbb {R}$, возрастающей фильтрации, или фильтрации весов, $W_{n}$ в $H_{\mathbb {Q} }=H_{\mathbb {Z} }\otimes \mathbb {Q}$ и убывающей фильтрации (фильтрации Ходжа) $F^{p}$ в $H_{\mathbb {C} }=H_{\mathbb {Z} }\otimes \mathbb {C}$ таких, что на пространстве $(W_{n}/W_{n+1})\otimes \mathbb {C}$ фильтрации $F^{p}$ и ${\bar {F}}^{p}$ определяют чистую структуру Ходжа веса $n$.

П. Делинь (P. Deligne) в своей работе рассмотрел смешанные структуры Ходжа в когомологиях комплексного алгебраического многообразия (не обязательно компактного или гладкого) как аналог структуры модуля Галуа в этальных когомологиях.

Структуры Ходжа имеют важные приложения в алгебраической геометрии в теории отображений периодов и в теории особенностей гладких отображений.