Тангенциальнозначная форма
Тангенциальнозначные формы — это обобщение дифференциальных форм, при котором множеством значений формы является касательное расслоение к многообразию.
Определение править
Тангенциальнозначной формой на многообразии называется сечение тензорного произведения касательного и внешней степени кокасательного расслоений к многообразию:
Операции править
Этот раздел не завершён. |
- Внутреннее дифференицрование
- Внешнее дифференцирование
Производная Ли править
Частным случаем тангенциальнозначных форм являются векторные поля. Производная Ли от тензорного поля по векторному полю определяется стандартным образом:
где — фазовый поток, соответствующий векторному полю . Эта операция связана с внутренним умножением дифференциальной формы на векторное поле и внешним дифференцированием формулой гомотопии:
то есть
![{\displaystyle L_{X}=[\imath _{X},d]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/407fedff8778171516c1002ccaa2e854d3349c0d)
где — коммутатор в градуированной алгебре дифференцирований тангенциальнозначных форм. Для произвольной тангенциальнозначной формы производная Ли определяется по аналогии:
![{\displaystyle [\cdot ,\cdot ]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/28dd4c22d60192519c1c12cf645b040f368db9e9)
![{\displaystyle L_{K}=[\imath _{K},d]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b3f273204bfa118e369086c85b3d7b23da5313f9)
- Свойства
![{\displaystyle [L_{K},d]=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ce918fcbb7cf56bf8595dd8f6bc5cbbe7b4167b2)
Скобка Фрёлихера-Нейенхёйса править
Скобка Фрёлихера-Нейенхёйса двух тангенциальнозначных форм и определяются как такая единственная тангенциальнозначная форма , для которой
![{\displaystyle [K,F]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f3bb154345346746d75727a1e6bcc0a81a138856)
![{\displaystyle [L_{K},L_{F}]=L([K,F])}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3d873bbb74d043572252b5bb59ab2f81c298e8e9)
Эта операция градуированно антикоммутативна и удовлетворяет градуированному тождеству Якоби. Если воспринимать почти комплексную структуру как касательнозначную 1-форму, её тензор Нейенхёйса (тензор, препятствующий отысканию комплексных локальных карт) выражается через скобку Фрёлихера-Нейенхёйса как .[1] Условие «интегрируемости» некой структуры как зануление некоторой её скобки с самой собой общо: например, условие ассоциативности алгебры можно определять как зануление скобки Герстенхабера на пространстве кодифференцирований свободной коалгебры, порождённой подлежащим векторным пространством алгебры , посажённым в градуировку 1 (билинейные умножения суть то же самое, что кодифференцирования градуировки 1)[2].
![{\displaystyle [I,I]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4a0ed0802a46f94834a2074b4131f1e4744253ba)
Скобка Нейенхёйса-Ричардсона править
Скобка Нейенхёйса-Ричардсона (алгебраические скобки) двух тангенциальнозначных форм и определяются как такая единственная тангенциальнозначная форма , для которой
![{\displaystyle [\cdot ,\cdot ]^{\wedge }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/03eab976fbfedc37e39a9b3bd94ef078b3a6998c)
![{\displaystyle [K,F]^{\wedge }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e6aad740f459fa6f9fb8326505bc450443e4f82f)
![{\displaystyle [\imath _{K},\imath _{F}]=\imath ([K,F]^{\wedge })}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7a4929659805d0900b1ae2a1923539797dc948f4)
Эта операция градуированно антикоммутативна и удовлетворяет градуированному тождеству Якоби. Явный вид для скобки двух форм , :
![{\displaystyle [K,F]^{\wedge }=\imath _{k}F-(-1)^{kf}\imath _{F}K}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c249d4fa65aa6af46525ad015c08b7b135ed9a9a)
Связанные определения править
Форма называется припаивающей, если она лежит в .
Примечания править
- ↑ Dozen definitions of the Nijenhuis tensor of an almost complex structure . Дата обращения: 31 января 2016. Архивировано 26 марта 2015 года.
- ↑ Homological methods in Non-commutative Geometry, Lecture 8. Архивная копия от 24 марта 2017 на Wayback Machine, лемма 8.2
Литература править
- Г. А. Сарданашвили Современные методы теории поля. Т.1: Геометрия и классические поля, — М.: УРСС, 1996. — 224 с.
- Ivan Kolář, Peter W. Michor, Jan Slovák Natural operations in differential geometry, — Springer-Verlag, Berlin, Heidelberg, 1993. — ISBN 3-540-56235-4, ISBN 0-387-56235-4.