Теорема Асколи — Арцела

Теорема Арцела́ — утверждение, которое представляет собой критерий предкомпактности множества в полном метрическом пространстве в том специальном случае, когда рассматриваемое пространство — пространство непрерывных функций на отрезке вещественной прямой. Названа в честь автора, Чезаре Арцела.

Теорема Арцела — Асколи (или Асколи — Арцела) — это обобщение теоремы Арцела на тот случай, когда рассматриваются семейства отображений метрических компактов (обобщённая теорема Арцела).

Применение теоремы Арцела связано со специальными свойствами рассматриваемых семейств, а именно: с равномерной ограниченностью и равностепенной непрерывностью.

Введение

В математическом анализе (а затем и в функциональном анализе) рассматриваются всевозможные семейства непрерывных функций, заданных на специальных множествах (метрических компактах) и исследуется вопрос о «полноте» таких семейств. В частности, возникает вопрос о существовании предела, например, у последовательности непрерывных числовых функций, заданных на отрезке $[a,b]$, а также о свойствах данного предела. Согласно критерию Коши, равномерный предел непрерывных функций, также является непрерывной функцией, что означает полноту пространства $C[a,b]$. Существенным здесь является то, что область определения функций — компактное подмножество вещественной прямой (отрезок), а функции принимают значение в полном метрическом пространстве. Аналогичный результат мы получим если возьмём класс непрерывных отображений произвольного метрического компакта в полное метрическое пространство.

Полнота класса $C[a,b]$ позволяет приблизить всякую непрерывную функцию последовательностью приближений, каждое из которых является функцией в некотором смысле «более простой» чем исходная. Об этом говорит теорема Вейерштрасса: каждую непрерывную функцию на отрезке можно сколь угодно точно приблизить полиномами.

Теорема Арцела относится к тому случаю, когда рассматривается некоторое семейство непрерывных функций $F\subset C(K,Y)$, где $K$ — метрический компакт, а $Y$ — полное метрическое пространство, и исследуется вопрос о том, можно ли выделить из этого семейства сходящуюся подпоследовательность. Поскольку пространство $C(K,Y)$ полное, то существование предельной точки означает, по существу, предкомпактность семейства $F$ в $C(K,Y)$. Поэтому теорему можно сформулировать в общем виде, говоря именно о предкомпактности.

Таким образом, Теорема Арцела представляет собой критерий предкомпактности семейства непрерывных функций, заданных на компакте и действующих в полное метрическое пространство.

Существующий критерий предкомпактности множества в полном пространстве требует проверки вполне ограниченности данного множества. На практике, такой критерий не является эффективным. Поэтому представляется целесообразным каким-то образом использовать свойства самих функций, входящих в семейство, чтобы получить критерий предкомпактности, пригодный для применения на практике.

В ходе исследований оказалось, что такими свойствами являются свойства равномерной ограниченности и равностепенной непрерывности рассматриваемого семейства.

Упоминание о равностепенной непрерывности было сделано одновременно Джулио Асколи(1883—1884) и Чезаре Арцела (1882—1883). Слабая форма теоремы была доказана Асколи в 1883—1884, который установил достаточное условия компактности, и Арцелой в 1895, который привёл необходимое условие и дал первую чёткую интерпретацию результата. Дальнейшее обобщение теоремы было доказано Фреше (1906) для пространств, в которых понятие предела имеет смысл, например, метрического пространства или хаусдорфового Данфорд, Шварц (1958). Современные формулировки теоремы позволяют области и диапазону быть метрическими пространствами. Наиболее общая формулировка теоремы даёт необходимое и достаточное условия для того, чтобы семейство функций из компактного хаусдорфового пространства в Равномерное пространство было компактным в топологии равномерной сходимости Бурбаки (1998, § 2.5).

Определения

Рассмотрим пространство $C[a,b]$ непрерывных функций, заданных на отрезке $[a,b]$, вместе с метрикой равномерной сходимости. Это — полное метрическое пространство. Известно, что:

• Для того, чтобы некоторое подмножество полного метрического пространства было предкомпактным, необходимо и достаточно, чтобы оно было вполне ограниченным.

В случае пространства $C[a,b]$, однако, можно использовать более эффективный критерий предкомпактности, но для этого придётся ввести два следующих ниже понятия.

Положим, что $F$ — некоторое семейство непрерывных функций, заданных на отрезке $[a,b]$.

Равномерная ограниченность

Семейство $F$ называется равномерно ограниченным, если существует единая для всех элементов семейства постоянная $K$, которой ограничены все функции семейства:

$\forall f\in F\quad \forall x\in [a,b]\quad |f(x)|<K$.

Равностепенная непрерывность

Семейство $F$ называется равностепенно непрерывным, если для любого $\varepsilon >0$ существует $\delta >0$ такая, что для всякого элемента $f\in F$ и для любых точек $x_{1}$ и $x_{2}$ таких, что $|x_{1}-x_{2}|<\delta$, выполняется строгое неравенство $|f(x_{1})-f(x_{2})|<\varepsilon$.

Формулировка

Теорема.

Функциональное семейство $F$ является предкомпактным в полном метрическом пространстве $C[a,b]$ тогда и только тогда, когда это семейство является

• равномерно ограниченным
• равностепенно непрерывным.

Доказательство

Фактически, необходимо показать, что оба указанных свойства семейства функций эквивалентны вполне ограниченности данного семейства.

Необходимость

Итак, пусть семейство $F$ — вполне ограниченное.

Фиксируем $\varepsilon >0$ и построим конечную $(\varepsilon /3)$-сеть вида: $\{\varphi _{i}\}_{i=1}^{n}$.

Поскольку каждая функция данной системы непрерывна и, следовательно, ограничена, то для каждой такой функции существует своя константа $K_{i}$ такая что, $|\varphi _{i}(x)|<K_{i}$ для всякого $x\in [a,b]$.

Поскольку таких функций конечное множество, то можно взять $K=\max _{i}K_{i}+\varepsilon /3$.

Теперь, если взять произвольную функцию $f\in F$, то для этой функции существует такой элемент $\varphi _{i}$ $(\varepsilon /3)$-сети, что $|f(x)-\varphi _{i}(x)|<\varepsilon /3$ для всякого $x\in [a,b]$. Очевидно, что в этом случае функция $f$ будет ограничена константой $K$.

Тем самым показано, что семейство $F$ является равномерно ограниченным.

Опять же, в силу непрерывности каждого элемента $(\varepsilon /3)$-сети, этот элемент оказывается также и равномерно непрерывным и, следовательно, по $(\varepsilon /3)$ можно подобрать такое $\delta _{i}$ такое, что $|\varphi _{i}(x_{1})-\varphi _{i}(x_{2})|<\varepsilon /3$ для любых точек $x_{1},x_{2}\in [a,b]$ таких, что $|x_{1}-x_{2}|<\delta _{i}$.

Положим $\delta =\min _{i}\delta _{i}$.

Если теперь рассмотреть произвольную функцию $f\in F$, то для заданного $\varepsilon >0$ будет иметь место строгое неравенство $|f(x_{1})-f(x_{2})|<\varepsilon$ для любых точек $x_{1},x_{2}\in [a,b]$ таких, что $|x_{1}-x_{2}|<\delta$.

Действительно, $|f(x_{1})-f(x_{2})|\leqslant |f(x_{1})-\varphi _{i}(x_{1})|+|\varphi _{i}(x_{1})-\varphi _{i}(x_{2})|+|\varphi _{i}(x_{2})-f(x_{2})|<\varepsilon /3+\varepsilon /3+\varepsilon /3=\varepsilon$, где $\varphi _{i}$ — подходящий элемент $(\varepsilon /3)$-сети.

Тем самым показано, что семейство $F$ является равностепенно непрерывным.

Другими словами, вполнеограниченность влечёт равномерную ограниченность и равностепенную непрерывность.

Достаточность

Теперь необходимо доказать, что равномерная ограниченность и равностепенная непрерывность семейства $F$ влечёт существование конечной $\varepsilon$-сети для всякого конечного $\varepsilon >0$.

Фиксируем $\varepsilon >0$.

Пусть $K$ — это константа, которая фигурирует в определении равномерной ограниченности.

Выберем такое $\delta >0$, которое фигурирует в определении равномерной непрерывности и соответствует величине $\varepsilon /5$.

Рассмотрим прямоугольник $[a,b]\times [-K,K]$ и разобьём его вертикальными и горизонтальными прямыми на прямоугольные ячейки размером меньше чем $\delta$ по горизонтали и $\varepsilon /5$ по вертикали. Пусть $x_{1}$, $x_{2}$, $\dots$ , $x_{N}$ — узлы этой решётки (по оси абсцисс).

Если теперь рассмотреть произвольную функцию $f\in F$, то для каждого узла $x_{i}$ решётки обязательно найдётся такая точка $(x_{i},y_{j})$ решётки, что $|f(x_{i})-y_{j}|<\varepsilon /5$. Если теперь рассмотреть ломаную функцию $\varphi$, которая в узлах принимает соответствующие значения, уклоняющиеся от функции не более чем на $\varepsilon /5$, то в силу того что сама функция уклоняется на каждом отрезке не более чем на $\varepsilon /5$, ломаная на каждом таком отрезке уклоняется не более чем на $3\varepsilon /5$.

Поскольку каждая точка $x$ отрезка $[a,b]$ оказывается на одном из таких отрезков, скажем, $[x_{k},x_{k}+1]$, то получается что уклонение функции от построенной таким образом ломанной не превосходит $\varepsilon$:

$|f(x)-\varphi (x)|\leqslant |f(x)-f(x_{k})|+|f(x_{k})-\varphi (x_{k})|+|\varphi (x_{k})-\varphi (x)|<\varepsilon /5+\varepsilon /5+3\varepsilon /5=\varepsilon$.

Тем самым показано, что конечная (!) система ломанных функций указанного вида является $\varepsilon$-сетью для заданного $\varepsilon >0$.

Приложения

Теорема Арцела находит своё применение в теории дифференциальных уравнений.

В теореме Пеано (о существовании решения задачи Коши) строится система функций, которая в теории дифференциальных уравнений носит название ломаных Эйлера. Эта система оказывается равномерно ограниченным и равностепенно непрерывным семейством функций, из которого, согласно теореме Арцела можно выделить равномерно сходящуюся последовательность функций, предел которой и будет искомым решением задачи Коши.

См. также

• Лемма Арцела
• Теорема Монтеля о компактном семействе функций — следствие из теоремы Арцела.

Литература

1. Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа. — изд. третье, переработанное. — М.: Наука, 1972. — 496 с.