Теорема Грушко о разложении

Теорема Грушко о разложении даёт единственное разложение конечно порождённой группы в свободное произведение групп.

Доказана Игорем Александровичем Грушко в 1940 году и независимо Бернардом Нойманом в 1943 году.

Эта теорема является теоретико-групповым аналогом теоремы Кнесера о разложении для 3-мерных многообразий, которая утверждает, что любое замкнутое 3-мерное многообразие представляется как связная сумма неприводимых 3-мерных многообразий.

Формулировка

Любая нетривиальная конечно порожденная группа $G$ может быть разложена как свободное произведение

$G=A_{1}*\dots *A_{r}*F_{s}$,

где каждая из группа $A_{i}$ нетривиальна и не свободная (в частности не бесконечная циклическая группа), и $F_{s}$ — свободная группа ранга $s$. Более того, это разложение единственно с точностью до перестановки.

Замечания

• Существование разложения следует из теоремы Глушко о том, что ранг свободного произведения конечнопорождённых групп равен сумме рангов; то есть

  $\mathrm {rank} (A*B)=\mathrm {rank} A+\mathrm {rank} B$

для любой пары конечнопорождённых групп $A$ и $B$. Единственность требует дополнительного рассуждения.

Литература

• И. А. Грушко. О базисах свободного произведения групп // Математический сборник. — 1940. — Т. 8(50), № 1. — С. 169–182.
• B. H. Neumann. On the number of generators of a free product. Journal of the London Mathematical Society, vol 18, (1943), pp. 12—20.