Теорема Левинсона

Теорема Левинсона — даёт условие гарантирующее что две системы асимптотически эквивалентны.

Формулировка теоремы

Пусть решения системы

${\frac {dx}{dt}}=Ax,\quad (1)$

где $A$ — постоянная $(n\times n)$-матрица, ограничены на $[0,\infty )$. Тогда система

${\frac {dy}{dt}}=[A+B(t)]y,\quad (2)$

где $B(t)\in C[0,\infty )$и $\int _{0}^{\infty }\lVert B(t)\rVert \,dt<\infty ,\quad (3)$

асимптотически эквивалентна системе $\quad (1)$.

Доказательство

(Идея изложенного ниже доказательства принадлежит Брауэру )

Поскольку решения системы $\quad (1)$ ограничены, то характеристические корни $\lambda \ (A)$ матрицы $A$  удовлетворяют равенству

$Re\lambda \ (A)\leq \ 0,$

причем характеристические корни с нулевыми действительными частями имеют простые элементарные делители.

Без ограничения общности предположим, что матрица $A$  имеет квазидиагональный вид

$\quad A=diag(A_{1},A_{2}),\quad (4)$

где $\quad A_{1}$  и $\quad A_{2}$ -- соответственно, $(p\times p)$- и $(q\times q)$-матрицы $\quad (p+q)$ такие, что

$Re\lambda \ (A_{1})<-\alpha <\ 0,$

$Re\lambda \ (A_{2})=0,\quad (5)$

Действительно, это можно получить с помощью простых преобразований $\xi \ =S{\boldsymbol {x}},$ и $\eta \ =S{\boldsymbol {y}},$ где $\quad S$ — постоянная $(n\times n)$-матрица, причем взаимно однозначное соответствие между новыми интегральными кривыми ${\boldsymbol {\xi }}(t)\Longleftrightarrow {\boldsymbol {\eta }}(t)$ индуцирует взаимно однозначное соответствие между старыми интегральными кривыми ${\boldsymbol {x}}(t)=S^{-1}\xi (t)\Longleftrightarrow S^{-1}\eta (t)={\boldsymbol {y}}(t)$.

Кроме того, из предельного отношения ${\boldsymbol {\xi }}(t)-{\boldsymbol {\eta }}(t)\to 0,$ при $t\to \infty$ очевидно, следует предельное отношение

${\boldsymbol {x}}(t)-{\boldsymbol {y}}(t)\to 0,$ при $t\to \infty$.

$\quad 1)$  Пусть  $\quad X(t)=diag(e^{tA_{1}},e^{tA_{2}})$ -- фундаментальная матрица системы $\quad (1),$ нормированная в нуле: $\quad X(t)=E,$ а $\quad I_{1}=diag(E_{p},0),$ и $\quad I_{2}=diag(0,E_{q}),$ где $\quad E_{q}$ и $\quad E_{p}$ -- единичные матрицы соответствующих порядков q и p, при этом, очевидно, $\quad I_{1}+I_{2}=E_{n}.$

Положим $\quad X(t)=X_{1}(t)+X_{2}(t),$ где $\quad X_{1}(t)=X(t)I_{1}\equiv diag(e^{tA_{1}},0),$ и $\quad X_{2}(t)=X(t)I_{2}\equiv diag(0,e^{tA_{2}})$.

Отсюда матрицу Коши $\quad K(t,\tau )\equiv X(t)X^{-1}(\tau )=X(t-\tau )$ можно представить в виде:

$\quad K(t,\tau )=X_{1}(t-\tau )+X_{2}(t-\tau ),$

причем при условии $\quad (5)$ имеем

$\lVert X_{1}(t)\rVert =\lVert e^{tA_{1}}\rVert \leq ae^{-\alpha t},$

при $0\leq t<\infty$   $\quad (6)$ и

$\lVert X_{2}(t)\rVert =\lVert e^{tA_{2}}\rVert \leq b,$

 при $-\infty <t<\infty$ $\quad (7),$ где $\quad a,b$ - некоторые положительные константы. Используя метод вариации произвольных постоянных, дифференциальное уравнение можно записать в интегральной форме

$\quad y(t)=X(t-t_{0}){\boldsymbol {y}}(t_{0})+\int _{t_{0}}^{t}X_{1}(t-\tau )B(\tau ){\boldsymbol {y}}(\tau )\,d\tau +$$\int _{t_{0}}^{t}X_{2}(t-\tau )B(\tau ){\boldsymbol {y}}(\tau )\,d\tau ,$ где $t\in [0,\infty )$  произвольное.

Поскольку матрица $\quad B(t)$ абсолютно интегрирована на $[0,\infty ),$ то все решения ${\boldsymbol {y}}(t)$ системы $\quad (2)$ ограничены на $[0,\infty ),$

и поэтому несобственный интеграл $\int _{t_{0}}^{\infty }X_{2}(t-\tau )B(\tau ){\boldsymbol {y}}(\tau )\,d\tau$ является сходящимся.

Отсюда, учитывая, что $\quad X_{2}(t-\tau )=X(t-\tau )I_{2}=X(t-t_{0})X(t_{0}-\tau )I_{2}=X(t-t_{0})X_{2}(t_{0}-\tau ),$ наше интегральное уравнение можно представить в виде

$\quad y(t)=X(t-t_{0})\left\lbrack {\boldsymbol {y}}(t_{0})+\int _{t_{0}}^{\infty }X_{2}(t_{0}-\tau )B(\tau ){\boldsymbol {y}}(\tau )\,d\tau \right\rbrack +$$+\int _{t_{0}}^{t}X_{1}(t-\tau )B(\tau ){\boldsymbol {y}}(\tau )\,d\tau -\int _{t}^{\infty }X_{2}(t-\tau )B(\tau ){\boldsymbol {y}}(\tau )\,d\tau (8)$

Решению $\quad {\boldsymbol {y}}(t)$ системы $\quad (2)$ с начальным условием $\quad {\boldsymbol {y}}(t_{0})={\boldsymbol {y_{0}}}$ сопоставим решение $\quad {\boldsymbol {x}}(t)$ системы $\quad (1)$ с начальным условием

$\quad {\boldsymbol {x}}(t_{0})={\boldsymbol {y_{0}}}(t_{0})+\int _{t_{0}}^{\infty }X_{2}(t-\tau )B(\tau ){\boldsymbol {y}}(\tau )\,d\tau (9)$

Поскольку решения $\quad {\boldsymbol {x}}(t)$ и $\quad {\boldsymbol {y}}(t)$ полностью определяются своими начальными условиями, то формула $\quad (9)$ устанавливает однозначное соответствие между множеством всех решений $\lbrace {\boldsymbol {y}}(t)\rbrace$ системы $\quad (2)$ и множеством решений $\lbrace {\boldsymbol {x}}(t)\rbrace$ (или ее частью) системы $\quad (1)$. Заметим, что отношение $\quad (9)$ непрерывное относительно начального значения$\quad {\boldsymbol {y}}(t_{0})={\boldsymbol {y_{0}}}.$

$\quad 2)$  Покажем, что соответствие между решениями $\quad {\boldsymbol {x}}(t)$ и $\quad {\boldsymbol {y}}(t),$ что определяется формулой $\quad (9),$ является взаимно однозначным и распространяется на все множество решений $\lbrace {\boldsymbol {x}}(t)\rbrace$.

Пусть $\quad Y(t)$ -- фундаментальная матрица системы $\quad (1)$ такая, что $\quad Y(t_{0})=E$. Имеем

$Y(t)=X(t-t_{0})+\int _{t_{0}}^{t}X(t-\tau )B(\tau )Y(\tau )\,d\tau .$

Но из неравенств $\quad (6),(7)$ следует $\lVert X(t-t_{0})\rVert \leq max(a,b)=c,$   при $t\geq t_{0}$; поэтому

$\lVert Y(t)\rVert \geq c+\int _{t_{0}}^{t}c\lVert B(\tau )\rVert \lVert Y(\tau )\rVert \,d\tau$

и в силу леммы Гронуолла-Беллмана находим

$\lVert Y(t)\rVert \geq c\,\exp(\int _{t_{0}}^{t}c\lVert B(\tau )\rVert \,d\tau )\geq c\,\exp(c\int _{0}^{\infty }\lVert B(\tau )\rVert \,d\tau )=k,\quad$

при$t_{0}\geq t<\infty \qquad (10),$

причем константа $\quad k$ по оценке $\quad (10)$ не зависит от выбора начального момента $t_{0}(t_{0}\leq 0).$

Очевидно, имеем ${\boldsymbol {y}}(t)=Y(t){\boldsymbol {y}}(t_{0}).$

Поэтому из формулы $\quad (9)$ получаем ${\boldsymbol {y}}(t_{0})=\lbrack E+Z(t_{0})\rbrack {\boldsymbol {y}}(t_{0}),\quad$ где $Z(t_{0})=\int _{t_{0}}^{\infty }X_{2}(t_{0}-\tau )B(\tau )Y(\tau )\,d\tau ,\quad$ причем на основе $\quad (7),(10)$ выводим

$\lVert Z(t_{0})\rVert \geq \int _{t_{0}}^{\infty }\lVert X_{2}(t_{0}-\tau )\rVert \lVert B(\tau )\rVert \lVert Y(\tau )\rVert \,d\tau \geq bk\int _{t_{0}}^{\infty }\lVert B(\tau )\rVert \,d\tau \quad (12).$

Поскольку матрица $\quad B(t)$ абсолютно интегрирована на $\quad [0,\infty )$, то $\int _{t_{0}}^{\infty }\lVert B(\tau )\rVert \,d\tau \to 0$ при $t_{0}\to \infty$, следовательно, в силу $\quad (12)$ начальный момент $\quad t_{0}$ можно выбрать настолько большим, чтобы имело место $\det \lbrack E+Z(t_{0})\rbrack >0.(13)$ В дальнейшем $\quad t_{0}\quad$ будем считать фиксированным и предполагать наличие неравенства $\quad (13)$. Отсюда и из формулы $\quad (11)$ выводим

${\boldsymbol {y}}(t_{0})=\lbrack E+Z(t_{0})\rbrack ^-1{\boldsymbol {x}}(t_{0}).\qquad (14)$

Поскольку формулы $\quad (11)$ и $\quad (14)$ равносильны, то для каждого решения $\quad {\boldsymbol {x}}(t)$ системы $\quad (1)$ с начальным условием${\boldsymbol {x}}(t_{0})={\boldsymbol {x_{0}}}\quad$ найдется только одно решение ${\boldsymbol {y}}(t)\quad$ системы $\quad (2),$ которое соответствует установленному выше отношению, а именно, это решение, начальное условие ${\boldsymbol {y}}(t_{0})\quad$ которого определяется формулой$\quad (14).$

Соответствие между решениями ${\boldsymbol {x}}(t)$ и ${\boldsymbol {y}}(t)$, которое устанавливается формулами $\quad (11)$ и $\quad (14),\quad$ -- взаимно однозначное, т.е. каждому решению ${\boldsymbol {y}}(t)$ соответствует одно и только одно решение ${\boldsymbol {x}}(t)\quad$, и наоборот.

Отметим, что тривиальному решению ${\boldsymbol {y}}\equiv 0\quad$ соответствует тривиальное решение ${\boldsymbol {x}}\equiv 0\quad$ и в силу линейности соотношений $\quad (11)$ и $\quad (14)$ различными решениям ${\boldsymbol {y_{1}}}(t)$ и ${\boldsymbol {y_{2}}}(t)\quad$ системы $\quad (2),$ отвечают разные решения ${\boldsymbol {x_{1}}}(t)\quad$ и ${\boldsymbol {x_{2}}}(t)\quad$ системы $\quad (1),$ и наоборот.

Для соответствующих решений ${\boldsymbol {x}}(t)\quad$ и ${\boldsymbol {y}}(t)\quad$ оценим норму их разности. Поскольку, это очевидно, что

${\boldsymbol {x}}(t)=X(t-t_{0}){\boldsymbol {x}}(t_{0}),\qquad$ где ${\boldsymbol {x}}(t_{0})$ определяется формулой $\quad (9)$, то из формулы $\quad (8)$ имеем

${\boldsymbol {y}}(t)-{\boldsymbol {x}}(t)=\int _{t_{0}}^{t}X_{1}(t-\tau )B(\tau ){\boldsymbol {y}}(\tau )\,d\tau -\int _{t}^{\infty }X_{2}(t-\tau )B(\tau ){\boldsymbol {y}}(\tau )\,d\tau .$

Отсюда, учитывая, что

$\lVert {\boldsymbol {y}}(t)\rVert =\lVert Y(t){\boldsymbol {y}}(t_{0})\lVert \leq \lVert Y(t)\rVert \lVert {\boldsymbol {y}}(t_{0})\rVert \leq k\,\lVert {\boldsymbol {y}}(t_{0})\rVert ,$ при $t\geq t_{0},$

на основе оценок $\quad (6)$ и $\quad (7)$ получаем

$\lVert {\boldsymbol {y}}(t)-{\boldsymbol {x}}(t)\rVert \leq \int _{t_{0}}^{t}\lVert X_{1}(t-\tau )\rVert \lVert B(\tau )\rVert \lVert {\boldsymbol {y}}(\tau )\,d\tau +\int _{t}^{\infty }\lVert X_{2}(t-\tau )\rVert \lVert B(\tau )\rVert \lVert {\boldsymbol {y}}(\tau )\,d\tau \leq$

$\leq ak\,\lVert {\boldsymbol {y}}(t_{0})\lVert \int _{t_{0}}^{t}e^{-\alpha (t-\tau )}\lVert B(\tau )\rVert \,d\tau \,+\,bk\,\lVert {\boldsymbol {y}}(t_{0})\rVert \int _{t}^{\infty }\lVert B(\tau )\rVert \,d\tau .(15)$

Учитывая абсолютную интегрируемость матрицы $\quad B(t)$ при $t\geq 2t_{0}$ имеем$\int _{t_{0}}^{t}e^{-\alpha (t-\tau )}\lVert B(\tau )\rVert \,d\tau =\int _{t_{0}}^{\frac {t}{2}}e^{-\alpha (t-\tau )}\lVert B(\tau )\rVert \,d\tau \,+\,\int _{\frac {t}{2}}^{t}e^{-\alpha (t-\tau )}\lVert B(\tau )\rVert \,d\tau \leq$

$\leq e^{-{\frac {\alpha t}{2}}}\int _{0}^{\infty }\lVert B(\tau )\rVert \,d\tau \,+\,\int _{\frac {t}{2}}^{t}\lVert B(\tau )\rVert \,d\tau \,<\varepsilon \,,$ если $\quad t>T.$

Итак,

$\lim \limits _{t\to \infty }\int _{t_{0}}^{t}e^{-\alpha (t-\tau )}\lVert B(\tau )\rVert \,d\tau =0.$

Таким образом, из неравенства $\quad (15)$выводим $\lim \limits _{t\to \infty }[x(t)-y(t)]=0,$ то есть системы $\quad (1)$ и $\quad (2)$ асимптотически эквивалентны. Доказано.

См. также

• Лемма Гронуолла-Беллмана
• Асимптотически эквивалентные системы

Источники

1. Демидович Б. П. Лекции по математической теории устойчивости. М.: «Наука», 1967.  (рус.)(рус.)