Теорема Лестера

Теорема Лестера — утверждение в геометрии треугольника, согласно которому в любом разностороннем треугольнике две точки Ферма, центр девяти точек и центр описанной окружности лежат на одной окружности (окружности Лестера). Названа именем канадского математика Джун Лестер (June Lester).

Точки Ферма $X_{13},X_{14}$, центр $X_{5}$ окружности девяти точек (светло-голубой), и центр описанной окружности $X_{3}$ зелёного треугольника лежат на окружности Лестера (чёрная).

Доказательства

Доказательство Гиберта с помощью гиперболы Киперта

Теорема об окружности Лестера вытекает из более общего утверждения Б. Гиберта (2000), а именно, что любая окружность, диаметр которой является хордой гиперболы Киперта треугольника и перпендикулярен его прямой Эйлера, проходит через точки Ферма.

Лемма Дао на прямоугольной гиперболе

Теорема Дао о прямоугольной гиперболе

В 2014 году Дао Танх Оай (Đào Thanh Oai) показал, что результат Гиберта следует из свойств прямоугольных гипербол. А именно, пусть точки $H$ и $G$ лежат на одной ветви прямоугольной гиперболы $S$, а $F_{+}$ и $F_{-}$ — две точки на $S$, симметричные относительно её центра (точки-антиподы), в которых касательные прямые к $S$ параллельны прямой $HG$.

Пусть $K_{+}$ и $K_{-}$ — две точки на гиперболе, касательные прямые в которых пересекаются в точке $E$ на прямой $HG$. Если прямая $K_{+}K_{-}$ пересекает $HG$ в точке $D$, и перпендикуляр в середине отрезка $DE$ пересекает гиперболу в точках $G_{+}$ и $G_{-}$, то шесть точек $F_{+},F_{-},E,D,G_{+},G_{-}$ лежат на одной окружности.

Чтобы получить теорему Лестера из этого результата, необходимо взять в качестве $S$ гиперболу Киперта треугольника, в качестве точек $F_{+},F_{-}$ — точки Ферма, точками $K_{+},K_{-}$ будут внутренняя и внешняя точки Вектена, точками $H,G$ будут ортоцентр и центроид треугольника.

См. также

• Окружность Парри
• Точка Парри
• Точки Торричелли

Литература

• Clark Kimberling. Lester Circle // Mathematics Teacher. — 1996. — Т. 89, вып. 26.
• June A. Lester. Triangles III: Complex triangle functions // Aequationes Mathematicae. — 1997. — Т. 53. — С. 4–35.
• Michael Trott. Applying GroebnerBasis to Three Problems in Geometry // Mathematica in Education and Research. — 1997. — Т. 6. — С. 15–28.
• Ron Shail. A proof of Lester's Theorem // Mathematical Gazette. — 2001. — Т. 85. — С. 225–232.
• John Rigby. A simple proof of Lester's theorem // Mathematical Gazette. — 2003. — Т. 87. — С. 444–452.
• J.A. Scott. On the Lester circle and the Archimedean triangle // Mathematical Gazette. — Т. 89. — С. 498–500.
• Michael Duff. A short projective proof of Lester's theorem // Mathematical Gazette. — Т. 89. — С. 505–506.
• Stan Dolan. Man versus Computer // Mathematical Gazette. — Т. 91. — С. 469–480.

• Paul Yiu. The Circles of Lester, Evans, Parry, and Their Generalizations // Forum Geometricorum. — 2010. — Т. 10. — С. 175–209.

Ссылки

• The Lester Circle Details of its discovery. (англ.)
• Lester Circle at MathWorld (англ.)
• Center of the Pohoata-Dao-Moses circles X(5607) and X(5608) (англ.)