Теорема Моро

Теорема Моро — это результат в выпуклом анализе. Она показывает, что достаточно хорошие выпуклые функционалы на гильбертовых пространствах дифференцируемы и производная хорошо аппроксимируется так называемой аппроксимацией Иосиды, которая определяется в терминах резольвенты.

Утверждение теоремы

Пусть $\varphi :H\to \mathbb {R} \cup \{+\infty \}$ будет собственным выпуклым полунепрерывным снизу функционалом в гильбертовом пространстве H со значениями в расширенной числовой прямой. Пусть A означает $\partial \varphi$, субдифференциал $\varphi$. Для $\alpha >0$ пусть $J_{\alpha }$ означает резольвенту:

$J_{\alpha }=(\mathrm {id} +\alpha A)^{-1};$

а $A_{\alpha }$ означает аппроксимацию Иосиды для A:

$A_{\alpha }={\frac {1}{\alpha }}(\mathrm {id} -J_{\alpha }).$

Для каждого $\alpha >0$ и $x\in H$ положим

$\varphi _{\alpha }(x)=\inf _{y\in H}{\frac {1}{2\alpha }}\|y-x\|^{2}+\varphi (y).$

Тогда

$\varphi _{\alpha }(x)={\frac {\alpha }{2}}\|A_{\alpha }x\|^{2}+\varphi (J_{\alpha }(x))$,

$\varphi _{\alpha }$ выпукла и дифференцируема по Фреше с производной $d\varphi +\alpha =A_{\alpha }$. Кроме того, для любого $x\in H$(поточечно), $\varphi _{\alpha }(x)$ сходится к $\varphi (x)$ при $\alpha \to 0$.

Литература

• Ralph E. Showalter. Monotone operators in Banach space and nonlinear partial differential equations. — Providence, RI: American Mathematical Society, 1997. — С. 162–163. — (Mathematical Surveys and Monographs 49). — ISBN 0-8218-0500-2. MR: 1422252 (Предложение IV.1.8)