Теорема Райкова

Теорема Райкова — oбратное утверждение к следующему наблюдению если случайные величины $\xi _{1}$ и $\xi _{2}$ независимы и распределены по закону Пуассона, то их сумма также распределена по закону Пуассона. .

Теорема Райкова аналогична теореме Крамера, в которой утверждается, что если сумма двух независимых случайных величин имеет нормальное распределение, то каждая из этих случайных величин также имеет нормальное распределение. Ю.В. Линник доказал, что свертка нормального распределения и распределения Пуассона также обладает аналогичным свойством (теорема Линника).

Формулировка теоремы

Пусть случайная величина $\xi$ имеет распределение Пуассона и может быть представлена в виде суммы двух независимых случайных величин $\xi =\xi _{1}+\xi _{2}$. Тогда распределения случайных величин $\xi _{1}$ и $\xi _{2}$ являются смещёнными распределениями Пуассона.

Вариации и обобщения

Обощение на локально компактные абелевы группы

Пусть $X$ — локально компактная абелева группа. Обозначим через $M^{1}(X)$ сверточную полугруппу вероятностных распределений на $X$, а через $E_{x}$ — вырожденное распределение, сосредоточенное в точке $x\in X$. Пусть $x_{0}\in X$, $\lambda >0$.

Распределением Пуассона, порождённым мерой $\lambda E_{x_{0}}$, называется смещённым распределения вида

$\mu =e(\lambda E_{x_{0}})=e^{-\lambda }(E_{0}+\lambda E_{x_{0}}+\lambda ^{2}E_{2x_{0}}/2!+\ldots +\lambda ^{n}E_{nx_{0}}/n!+\dots ).$

Имеет место следующая теорема Райкова на локально компактных абелевых группах:

Пусть $\mu$ — распределение Пуассона, порождённое мерой $\lambda E_{x_{0}}$. Пусть $\mu =\mu _{1}*\mu _{2},$ где $\mu _{j}\in M^{1}(X)$. Если $x_{0}$ — либо элемент бесконечного порядка, либо порядка 2, то $\mu _{j}$ также является распределением Пуассона. Если же $x_{0}$ — элемент конечного порядка $n$, $n\neq 2$, то $\mu _{j}$ может быть не распределением Пуассона.