Теорема Фенхеля о повороте кривой

Теорема Фенхеля утверждает, что вариация поворота любой замкнутой кривой не меньше $2{\cdot }\pi$ и равенство достигается только в случае выпуклой плоской кривой. В частности, средняя кривизна замкнутой кривой длины $\ell$ не может быть меньше $2{\cdot }\pi /\ell$.

Теорема доказана Вернером Фенхелем.

О доказательстве

Обычно доказательство строится на утверждении, что сферическая кривая длины меньше чем $2{\cdot }\pi$ лежит в открытой полусфере. Это утверждение можно доказать например применением формулы Крофтона, но известны и более элементарные доказательства.

Остаётся заметить что кривая образованная единичными касательными векторами (касательная индикатриса) к исходной кривой не может лежать в открытой полусфере. Значит её длина не меньше $2{\cdot }\pi$, длина же этой кривой совпадает с интегралом кривизны.

Вариации и обобщения

• Лемма Решетняка о хорде. Если регулярная гладкая $\gamma \colon [a,b]\to \mathbb {R} ^{n}$ подходит к своей хорде $[\gamma (a),\gamma (b)]$ под углами $\alpha$ и $\beta$, то поворот кривой $\gamma$ хотя бы $\alpha +\beta$.
  • Это утверждение легко следует из теоремы Фенхеля, но зачастую его удобней использовать. Например сама теорема Фенхеля следует если применить лемму к разбиению замкнутой кривой на две дуги.

• Теорема Фари — Милнора

• Теорема о повороте плоской кривой

Литература

• Топоногов, В. А. Дифференциальная геометрия кривых и поверхностей. — Физматкнига, 2012. — ISBN 978-5-89155-213-5.