Теорема Эйлера о четырёхугольниках

Теорема Эйлера о четырёхугольниках (также закон Эйлера для четырёхугольников) — теорема планиметрии, названная в честь Леонарда Эйлера (1707—1783 гг.), которая описывает соотношение между сторонами выпуклого четырёхугольника и его диагоналями. Теорема является обобщением тождества параллелограмма, которое, в свою очередь, можно рассматривать как обобщение теоремы Пифагора; поэтому иногда используется название теорема Эйлера — Пифагора.

Теорема и специальные случаи править

Для выпуклого четырёхугольника со сторонами $a,b,c,d$ и диагоналями $e$ и $f$ , середины которых соединены отрезком $g$ , выполняется равенство:

a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}=e^{2}+f^{2}+4g^{2}

Если четырёхугольник является параллелограммом, то средние точки диагоналей совпадают и соединяющий их отрезок $g$ имеет длину, равную 0. Кроме того, у параллелограмма длины параллельных сторон равны, так что в таком случае теорема Эйлера сводится к формуле:

2a^{2}+2b^{2}=e^{2}+f^{2}

каковая называется тождеством параллелограмма.

Если четырёхугольник является прямоугольником, то равенство ещё более упрощается, поскольку теперь две диагонали равны:

2a^{2}+2b^{2}=2e^{2}

Деление на 2 даёт теорему Эйлера — Пифагора:

a^{2}+b^{2}=e^{2}

Другими словами: для прямоугольника отношение сторон четырёхугольника и его диагоналей описывается теоремой Пифагора^[1].

Альтернативные формулировки и расширения править

Теорема Эйлера для параллелограмма

Эйлер вывел вышеописанную теорему как следствие другой теоремы, которая, с одной стороны, менее элегантна, так как требует добавления ещё одной точки, но, с другой стороны, даёт большее понимание свойств четырёхугольника.

Для заданного выпуклого четырёхугольника $ABCD$ Эйлер ввёл дополнительную точку $E$ , такую, что $ABED$ образует параллелограмм; тогда выполняется следующее равенство:

|AB|^{2}+|BC|^{2}+|CD|^{2}+|AD|^{2}=|AC|^{2}+|BD|^{2}+|CE|^{2}

Расстояние $|CE|$ между дополнительной точкой $E$ и точкой $C$ четырёхугольника, соответствует отрезку, который не являются частью параллелограмма. Длину этого отрезка можно рассматривать как меру отличия рассматриваемого четырёхугольника от параллелограмма, или, другими словами, как меру правильности члена $|CE|^{2}$ в исходном равенстве тождества параллелограмма^[2].

Поскольку точка $M$ является серединой отрезка $AC$ , то получаем ${\tfrac {|AC|}{|AM|}}=2$ . Точка $N$ является серединой отрезка $BD$ , и она также является серединой отрезка $AE$ , поскольку $AE$ и $BD$ являются диагоналями параллелограмма $ABED$ . Отсюда получаем ${\tfrac {|AE|}{|AN|}}=2$ , и, следовательно, ${\tfrac {|AC|}{|AM|}}={\tfrac {|AE|}{|AN|}}$ . Из теоремы Фалеса (и обратной) следует, что $CE$ и $NM$ параллельны. Тогда $|CE|^{2}=(2|NM|)^{2}=4|NM|^{2}$ , откуда и следует теорема Эйлера^[2].

Теорему Эйлера можно расширить на множество четырёхугольников, которре включает пересекающиеся и непланарные. Она выполняется для так называемых обобщённых четырёхугольников, которые состоят из четырёх произвольных точек в пространстве $\mathbb {R} ^{n}$ , связанных рёбрами с образованием графа-цикла^[3].

Примечания править

↑ Debnath, 2010, с. 105–107.
↑ ¹ ² Haunsperger, Kennedy, 2006, с. 137–139.
↑ Kandall, 2002, с. 403–404.

Литература править

Deanna Haunsperger, Stephen Kennedy. The Edge of the Universe: Celebrating Ten Years of Math Horizons. — MAA, 2006. — С. 137–139. — ISBN 9780883855553.
Lokenath Debnath. The Legacy of Leonhard Euler: A Tricentennial Tribute. — World Scientific, 2010. — С. 105–107. — ISBN 9781848165267.
C. Edward Sandifer. How Euler Did It. — MAA, 2007. — С. 33–36. — ISBN 9780883855638.
Geoffrey A. Kandall. Euler's Theorem for Generalized Quadrilaterals // The College Mathematics Journal. — 2002. — Ноябрь (т. 33, № 5). — С. 403–404.
Dietmar Herrmann. Die antike Mathematik: Eine Geschichte der griechischen Mathematik, ihrer Probleme und Lösungen. — Springer, 2013. — С. 418. — ISBN 9783642376122.

Ссылки править

Weisstein, Eric W. Quadrilateral (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.

[_3dc088cef563df21-1] Debnath, 2010, с. 105–107.

[_e218ffc350467618-2] ¹ ² Haunsperger, Kennedy, 2006, с. 137–139.

[_2db37fea69f40ce6-3] Kandall, 2002, с. 403–404.

[1]

[2]

[3]