Топологическая K-теория

В математике, топологическая K-теория является подразделом алгебраической топологии. В начале своего существования она применялась для изучения векторных расслоений на топологических пространствах с помощью идей, признанных в настоящее время частью (общей) K-теории, введенной Александром Гротендиком . Ранние работы по топологической K-теории принадлежат Майклу Атья и Фридриху Хирцебруху.

Определения

Пусть X — компактное хаусдорфово пространство и $k=\mathbb {R}$ или $\mathbb {C}$. Тогда $K_{k}(X)$ определяется как группа Гротендика коммутативного моноида конечномерных $k$-векторных расслоений над X с суммой Уитни. Тензорное произведение расслоений задаёт на K-теории структуру коммутативного кольца. Без индекса, $K(X)$ обычно обозначает комплексную K-теорию, тогда как вещественная K-теория иногда обозначается как $KO(X)$. Далее мы рассматриваем комплексную K-теорию.

В качестве начального примера заметим, что K-теорией точки являются целые числа. Это связано с тем, что все векторные расслоения над точкой тривиальны и поэтому классифицируются своим рангом, а группа Гротендика натуральных чисел это целые числа.

Существует редуцированная версия K теории, ${\widetilde {K}}(X)$,которая определяется для X — компактных пространств с выделенной точкой (ср. приведенные гомологии ). Приведенную теорию можно интуитивно рассматривать как K(X) по модулю тривиальных расслоений. Она определяется как группа классов стабильной эквивалентности расслоений. Два расслоения E и F называются стабильно изоморфными, если существуют тривиальные расслоения $\varepsilon _{1}$и $\varepsilon _{2}$, такие что $E\oplus \varepsilon _{1}\cong F\oplus \varepsilon _{2}$ , Это отношение эквивалентности задает структуру группы на множестве векторных расслоений, поскольку каждое векторное расслоение может быть дополнено до тривиального расслоения путем суммирования с его ортогональным дополнением. С другой стороны , ${\widetilde {K}}(X)$ можно определить как ядро отображения $K(X)\to K(x_{0})\cong \mathbb {Z}$ индуцируемого вложением базовой точки x₀ в X.

K-теория является мультипликативной (обобщенной) когомологической теорией. Короткая точная последовательность пространств с выделенной точкой (X, A)

${\widetilde {K}}(X/A)\to {\widetilde {K}}(X)\to {\widetilde {K}}(A)$

Продолжается до длинной точной последовательности

$\cdots \to {\widetilde {K}}(SX)\to {\widetilde {K}}(SA)\to {\widetilde {K}}(X/A)\to {\widetilde {K}}(X)\to {\widetilde {K}}(A).$

Пусть Sⁿ будет n-ой приведенной надстройкой пространства. Тогда определим:

${\widetilde {K}}^{-n}(X):={\widetilde {K}}(S^{n}X),\qquad n\geq 0.$

Отрицательные индексы выбираются таким образом, чтобы кограничное отображение увеличивало размерность.

Часто имеет смысл рассматривать нередуцированную версию этих групп, определенную как:

$K^{-n}(X)={\widetilde {K}}^{-n}(X_{+}).$

Где $X_{+}$ это $X$ с отдельной выделенной точкой, помеченной знаком «+».

Наконец, теорема Ботта о периодичности, сформулированная ниже, даёт нам теории с положительными индексами.

Свойства

• Kⁿ и, соответственно ${\widetilde {K}}^{n}$ являются контравариантными функторами из гомотопической категории пространств (с выделенной точкой) в категорию коммутативных колец. Следовательно, например, K-теория над стягиваемыми пространствами это $\mathbb {Z} .$

• Спектром K-теории является $BU\times \mathbb {Z}$ (с дискретной топологией на $\mathbb {Z}$ ), т.е. $K(X)\cong \left[X^{+},\mathbb {Z} \times BU\right],$ где [, ] обозначает классы отображений помеченных пространств с точностью до гомотопии, а BU - копредел классифицирующих пространств унитарных групп: $BU(n)\cong \operatorname {Gr} \left(n,\mathbb {C} ^{\infty }\right).$ Аналогично,

${\widetilde {K}}(X)\cong [X,\mathbb {Z} \times BU].$

Для вещественной K теории используется пространство BO .

• Аналогом операций Стинрода в K-теории являются операции Адамса . Их можно использовать для определения характеристических классов в топологической K-теории.

• Принцип расщепления в топологической K-теории позволяет свести утверждения о произвольных векторных расслоениях к утверждениям о суммах одномерных расслоений.

• Изоморфизм Тома в топологической K теории это:

$K(X)\cong {\widetilde {K}}(T(E)),$

где T(E) - пространство Тома векторного расслоения E над X. Это выполняется когда E является спинарным расслоением.

• Спектральная последовательность Атьи-Хирцебруха позволяет вычислять K-группы из обычных групп когомологий.

• Топологическую K-теория можно обобщить до функтора на C*-алгебрах.

Периодичность Ботта

Периодичность, названную в честь Рауля Ботта, можно сформулировать так:

• $K(X\times \mathbb {S} ^{2})=K(X)\otimes K(\mathbb {S} ^{2}),$ и $K(\mathbb {S} ^{2})=\mathbb {Z} [H]/(H-1)^{2}$, где H - класс тавтологического расслоения на $\mathbb {S} ^{2}=\mathbb {P} ^{1}(\mathbb {C} ),$ то есть на сфере Римана.

• ${\widetilde {K}}^{n+2}(X)={\widetilde {K}}^{n}(X).$

• $\Omega ^{2}BU\cong BU\times \mathbb {Z} .$

В вещественной K теории существует похожая периодичность, только по модулю 8.

Приложения

Два самых известных применения топологической K-теории принадлежат Фрэнку Адамсу . Сначала он решил задачу о единичном инварианте Хопфа, сделав вычисления с помощью операций Адамса . Затем он доказал верхнюю оценку числа линейно независимых векторных полей на сферах.

Характер Чженя

Майкл Атья и Фридрих Хирцебрух доказали теорему, которая связывает топологическую K-теорию CW-комплекса $X$ с его рациональными когомологиями. В частности, они показали, что существует гомоморфизм

$ch:K_{\text{top}}^{*}(X)\otimes \mathbb {Q} \to H^{*}(X;\mathbb {Q} )$

такой, что

${\begin{aligned}K_{\text{top}}^{0}(X)\otimes \mathbb {Q} &\cong \bigoplus _{k}H^{2k}(X;\mathbb {Q} )\\K_{\text{top}}^{1}(X)\otimes \mathbb {Q} &\cong \bigoplus _{k}H^{2k+1}(X;\mathbb {Q} )\end{aligned}}$

Существует алгебраический аналог, связывающий группу Гротендика когерентных пучков и кольцо Чоу гладкого проективного многообразия $X$.

См. также

• Теорема Атьи-Зингера об индексе

Литература

• Atiyah, Michael Francis. K-theory. — 2nd. — Addison-Wesley, 1989. — (Advanced Book Classics). — ISBN 978-0-201-09394-0.
• Handbook of K-Theory. — Springer-Verlag, 2005. — ISBN 978-3-540-30436-4.
• Karoubi, Max. K-theory: an introduction. — Springer-Verlag, 1978. — ISBN 0-387-08090-2.
• Hatcher. Vector Bundles & K-Theory  (неопр.).
• Stykow. Connections of K-Theory to Geometry and Topology  (неопр.).
• Karoubi, Max (2006). "K-theory. An elementary introduction". arXiv:math/0602082.