Трансфинитная последовательность

Трансфинитная последовательность элементов множества $X$ — отображение $a\colon [0;\alpha )\to X$, где $\alpha$ — некоторый ординал. Ординал $\alpha$ называется длиной или типом трансфинитной последовательности $a$.

Частные случаи:

• трансфинитная последовательность длины $n<\omega$ — конечная последовательность;
• трансфинитная последовательность длины $\omega$ — последовательность в классическом понимании, то есть отображение из множества натуральных чисел.

Множество всех трансфинитных последовательностей элементов множества $X$ длины $\alpha$ обозначается $X^{\alpha }$, длины меньше $\alpha$ — $X^{<\alpha }$, длины меньшей или равной $\alpha$ — $X^{\leq \alpha }$.

Для трансфинитных последовательностей аналогично обычным можно определить предел. Пусть $a_{\gamma }$ — последовательность элементов топологическооо пространства $X$, а её длина $\alpha$ — предельный ординал (ненулевой ординал не имеющий предшественника). Будем считать, что на $[0;\alpha )$ задана порядковая топология. Пределом трансфинитной последовательности называется её обычный топологический предел при стремлении аргумента к $\alpha$.

Трансфинитная класс-последовательность (в широком смысле) элементов класса $X$ — либо обычная трансфинитная последовательность, либо класс-функция $a:\operatorname {Ord} \to X$, где $\operatorname {Ord}$ — класс всех ординалов. В узком смысле класс-последовательность — класс-функция $a:\operatorname {Ord} \to X$. Обычно под термином класс-последовательность имеют в виду именно класс последовательность в узком смысле, поскольку все остальные трансфинитные класс-последовательности являются трансфинитными последовательностями в обычном понимании.

Примеры класс-последовательностей: иерархия алефов, иерархия фон Неймана.

Литература

• Трансфинитная последовательность — статья из Математической энциклопедии. Л. Д. Кудрявцев
• Сперанский С. О. Основные понятия теория множеств: 7/8  (рус.). https://homepage.mi-ras.ru/~speranski/ (14 октября 2020). Дата обращения: 1 апреля 2024.
• Wolk Elliot S. On the principle of dependent choices and some forms of Zorn's lemma (англ.) // Canadian Mathematical Bulletin : журнал. — 1983. — Vol. 26, no. 3. — P. 365–367. — doi:10.4153/CMB-1983-062-5.