Унимодулярная решётка

Унимодулярная решётка — целая решётка с определителем $\pm 1$. Последнее эквивалентно тому, что объём фундаментальной области решётки равен $1$.

Определения

• Решётка — свободная абелева группа $\mathbb {Z} ^{n}$ конечного ранга $n$ с симметричной билинейной формой $({*},{*})$.
• Решётку можно также рассматривать как подгруппу в вещественном векторном пространстве $\mathbb {R} ^{n}$ с симметрической билинейной формой.
• Число $n$ называется размерностью решётки, это размерность соответствующего вещественного векторного пространства; это то же, что и ранг $\mathbb {Z}$-модуля $\mathbb {Z} ^{n}$, или число образующих свободной группы $\mathbb {Z} ^{n}$.
• Решётка называется целой, если форма $({*},{*})$ принимает только целочисленные значения.
• Норма элемента $a$ решётки определяется как $(a,a)$.
• Решетка называется положительно определённой или лоренцевой, и так далее, если его векторное пространство таково. В частности:
  • Решётка является положительно определённой, если норма всех ненулевых элементов положительна.
  • Сигнатура решетки определяется как сигнатура формы на векторном пространстве.
• Определитель решётки — это определитель матрицы Грамма её базиса.
• Решётка называется унимодулярной, если её определитель равен $\pm 1$.
• Унимодулярная решетка называется чётной, если все нормы её элементов чётны.

Примеры

• $\mathbb {Z} \subset \mathbb {R}$, а также $\mathbb {Z} ^{n}\subset \mathbb {R} ^{n}$ — унимодулярные решётки.
• Решётка E8, решётка Лича — чётные унимодулярные решётки.

Свойства

• Для данной решётки в $\Lambda \in \mathbb {R} ^{n}$ вектора $x\in \mathbb {R} ^{n}$ такие, что $(x,a)\in \mathbb {Z}$ для любого $a\in \Lambda$ также образуют решётку называемую двойственной решёткой к $\Lambda$.
  • Целая решетка унимодулярна тогда и только тогда, когда её двойственная решетка является целой.
  • Унимодулярная решётка тождественна своей двойственной. По этой причине унимодулярные решётки также называются самодвойственными.
• Нечётные унимодулярные решетки существует для всех сигнатур.
• Чётная унимодулярная решетка с сигнатурой $(m,n)$ существует тогда и только тогда, когда $m-n$ делится на 8.
  • В частности, чётные положительно определенные унимодулярные решетки существуют только в размерностях, кратных 8.
• Тета-функция унимодулярных положительно определенных решёток является модулярной формой.

Приложения

• Вторая группа когомологий замкнутых односвязных ориентированных топологических четырёхмерных многообразий является унимодулярной решеткой. Михаил Фридман показал, что эта решетка практически определяет многообразие: существует единственное многообразие для каждой чётной унимодулярной решётки, и ровно по два для каждой нечётный унимодулярной решётки.
  • В частности, для нулевой формы это влечёт гипотезу Пуанкаре для 4-мерных топологических многообразий.
  • Теорема Дональдсона гласит, что если многообразие является гладким и его решётка положительно определена, то она должна представлять собой сумму копий $\mathbb {Z}$.
    • В частности, что большинство из этих многообразий не имеет гладкой структуры.

Литература

• Bacher, Roland; Venkov, Boris (2001), "Réseaux entiers unimodulaires sans racine en dimension 27 et 28" [Unimodular integral lattices without roots in dimensions 27 and 28], in Martinet, Jacques (ed.), Réseaux euclidiens, designs sphériques et formes modulaires [Euclidean lattices, spherical designs and modular forms], Monogr. Enseign. Math. (фр.), vol. 37, Geneva: L'Enseignement Mathématique, pp. 212—267, ISBN 2-940264-02-3, MR 1878751, Zbl 1139.11319, Архивировано из оригинала 28 сентября 2007 Архивная копия от 28 сентября 2007 на Wayback Machine
• Conway, J.H.; Sloane, N.J.A. (1999), Sphere packings, lattices and groups, Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, vol. 290, With contributions by Bannai, E.; Borcherds, R.E.; Leech, J.; Norton, S.P.; Odlyzko, A.M.; Parker, R.A.; Queen, L.; Venkov, B.B. (Third ed.), New York, NY: Springer-Verlag, ISBN 0-387-98585-9, MR 0662447, Zbl 0915.52003
• King, Oliver D. (2003), "A mass formula for unimodular lattices with no roots", Mathematics of Computation, 72 (242): 839—863, arXiv:math.NT/0012231, doi:10.1090/S0025-5718-02-01455-2, MR 1954971, Zbl 1099.11035
• Milnor, John; Husemoller, Dale (1973), Symmetric Bilinear Forms, Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete, vol. 73, New York-Heidelberg: Springer-Verlag, doi:10.1007/978-3-642-88330-9, ISBN 3-540-06009-X, MR 0506372, Zbl 0292.10016
• Serre, Jean-Pierre (1973), A Course in Arithmetic, Graduate Texts in Mathematics, vol. 7, Springer-Verlag, doi:10.1007/978-1-4684-9884-4, ISBN 0-387-90040-3, MR 0344216, Zbl 0256.12001

Внешние ссылки

• Каталог унимодулярных решёток Нила Слоуна.
• Sloane's A005134 : Number of n-dimensional unimodular lattices", The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. OEIS Foundation.