Функциональное уравнение

Функциональное уравнение — уравнение, выражающее связь между значением функции в одной точке с её значениями в других точках. Многие свойства функций можно определить, исследуя функциональные уравнения, которым эти функции удовлетворяют. Термин «функциональное уравнение» обычно используется для уравнений, несводимых простыми способами к алгебраическим уравнениям. Эта несводимость чаще всего обусловлена тем, что аргументами неизвестной функции в уравнении являются не сами независимые переменные, а некоторые данные функции от них.

Примеры

Функциональному уравнению:

$f(s)=2^{s}\pi ^{s-1}\sin \left({\frac {\pi s}{2}}\right)\Gamma (1-s)f(1-s)$,

где $\Gamma (z)$ — гамма-функция Эйлера, удовлетворяет дзета-функция Римана $\zeta$.

Гамма-функция является единственным решением этой системы трёх уравнений:

$f(x)={f(x+1) \over x}$

$f(y)f\left(y+{\frac {1}{2}}\right)={\frac {\sqrt {\pi }}{2^{2y-1}}}f(2y)$

$f(z)f(1-z)={\pi \over \sin(\pi z)}$ (формула дополнения Эйлера)

Функциональное уравнение:

$f\left({az+b \over cz+d}\right)=(cz+d)^{k}f(z)$,

где $a,b,c,d$ являются целыми числами, удовлетворяющими равенству $ad-bc=1$, то есть:

${\begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix}}\,=1$,

определяет $f$ как модулярную форму порядка $k$.

Функциональные уравнения Коши:

• $f(x+y)=f(x)+f(y)$ — удовлетворяют все линейные однородные функции $f(x)=ax$,
• $f(x+y)=f(x)f(y)$ — удовлетворяют все показательные функции $f(x)=\exp \left(\alpha x\right)=a^{x}$,
• $f(xy)=f(x)+f(y)$ — удовлетворяют все логарифмические функции $f(x)=\alpha \log \left(x\right)=\log _{a}\left(x\right)$,
• $f(xy)=f(x)f(y)$ — удовлетворяют все степенные функции $f(x)=\exp \left(\alpha \log \left(x\right)\right)=x^{a}$.

Функциональные уравнения Коши приводятся друг к другу. Так, уравнение $f(x_{1}x_{2})=f(x_{1})f(x_{2})$ приводится к уравнению $g(y_{1}+y_{2})=g(y_{1})+g(y_{2})$ после замены $g(y)=\log \left|f(\exp y)\right|$ (для этого, естественно, нужно, чтобы $f(x)$ не была тождественным нулём). В классе непрерывных функций и в классе монотонных функций приведённые решения — единственные, если не считать вырожденное решение $f(x)\equiv 0$. Однако в более широких классах функций возможны весьма экзотические решения, см. статью «Базис Гамеля».

Другие:

• $f(x+y)+f(x-y)=2[f(x)+f(y)]$ — квадратичное уравнение или тождество параллелограмма, удовлетворяет $f(x)=kx^{2}$,
• $f\left({\frac {x+y}{2}}\right)={\frac {f(x)+f(y)}{2}}$ — уравнение Йенсена, удовлетворяют все линейные функции $f(x)=ax+b$,
• $f(x+y)f(x-y)=f(x)^{2}$ — уравнение Лобачевского (версия уравнения Йенсена), удовлетворяет $f(x)=ac^{x}$,
• $f(x+y)+f(x-y)=2[f(x)f(y)]$ — уравнение Даламбера,
• $f(h(x))=f(x)+1$ — уравнение Абеля,
• $f(h(x))=cf(x)$ — уравнение Шрёдера, решением является функция Кёнигса, связанная с функцией $\textstyle h(x)$.

Рекуррентные соотношения

Частным видом функциональных уравнений является рекуррентное соотношение, содержащее неизвестную функцию от целых чисел и оператор сдвига.

Линейные рекуррентные соотношения:

$a(n)=\sum _{i=1,k}c_{i}\cdot a(n-i)$

(где $c_{1},c_{2},\dots ,c_{k}$ — константы, не зависящие от $n$) имеют теорию, аналогом которой является теория линейных дифференциальных уравнений. Например, для линейного рекуррентного соотношения:

$a(n)=3a(n-1)+4a(n-2)$,

достаточно найти два линейно независимых решения, все остальные решения будут их линейными комбинациями.

Чтобы найти эти решения, надо подставить в рекуррентное соотношение пробную функцию $a(n)=\lambda ^{n}$ с неопределённым параметром $\lambda$ и попробовать найти те $\lambda$, при которых будет удовлетворяться данное рекуррентное соотношение. Для приведённого примера получим квадратное уравнение $\lambda ^{2}=3\lambda +4$ с двумя различными корнями $\lambda =-1$ и $\lambda =4;$ поэтому общим решением для данного рекуррентного соотношения будет формула $a(n)=d_{1}4^{n}+d_{2}(-1)^{n}$ (константы $d_{1}$ и $d_{2}$ подбираются так, чтобы при $n=1$ и $n=2$ формула давала нужные значения для величин $a(1)$ и $a(2)$). В случае кратных корней многочлена дополнительными пробными решениями служат функции $n\lambda ^{n},$ $n^{2}\lambda ^{n}$ и так далее.

Одним из широко известных рекуррентных соотношений является $a(n)=a(n-1)+a(n-2)$, определяющее последовательность Фибоначчи.

Решение функциональных уравнений

Существуют некоторые общие методы решения функциональных уравнений.

В частности, полезным может оказаться применение понятия об инволюции, то есть, использование свойств функций, для которых $f(f(x))=x$; простейшие инволюции:

$f(x)=-x$, $f(x)={\frac {1}{x}}$, $f(x)={\frac {1}{1-x}}+1$, $f(x)=1-x$.

Применение инволюции относится к функциональному методу решения уравнений.

Решить уравнение $f{\left(x\right)}\cdot {f{\left({\dfrac {1}{1-x}}\right)}}={\dfrac {1-x}{x}}$.

Шаг 1 Напишем схему данного уравнения: $f{\left(x\right)}\cdot {f{\left(\tau (x)\right)}}=-{\tau }^{-1}(x)$. Шаг 2 Подставим везде, где есть $x$, функцию ${\tau }^{-1}(x)$. Получим: $f{\left({\tau }^{-1}(x)\right)}\cdot {f{\left(\tau ({\tau }^{-1}(x))\right)}}=-{\tau }^{-1}({\tau }^{-1}(x))\Longrightarrow f{\left({\tau }^{-1}(x)\right)}\cdot {f{\left(x\right)}}=-{\tau }^{-2}(x).$ Но так как ${\tau }^{2}(x)={\tau }^{-1}(x)$, то ${\tau }^{-2}(x)={\tau }(x)$. Поэтому $f{\left({\tau }^{-1}(x)\right)}\cdot {f{\left(x\right)}}=-{\tau }(x)$. Шаг 3 Теперь из результатов Шага 1 и Шага 2 делаем простой вывод: $f(x)={\dfrac {-{\tau (x)}}{f{\left({\tau }^{-1}(x)\right)}}}={\dfrac {{-{\tau }}^{-1}(x)}{f{\left({\tau }(x)\right)}}}.$ Шаг 4 Подставим везде, где есть $x$, функцию ${\tau }(x)$. Имеем: $f{\left({\tau }^{-1}(x)\right)}={\dfrac {-x}{f{\left({\tau }(x)\right)}}}={\dfrac {{-{\tau }}(x)}{f{\left(x\right)}}}.$ Шаг 5 Наконец, ${\begin{cases}{\begin{array}{rcrcc}{\dfrac {-x}{f{\left({\tau }(x)\right)}}}={\dfrac {{-{\tau }}(x)}{f{\left(x\right)}}},\\f{\left(x\right)}\cdot {f{\left(\tau (x)\right)}}=-{\tau }^{-1}(x)\end{array}}\end{cases}}\Longrightarrow {\begin{cases}{\begin{array}{rcrcc}{f{\left({\tau }(x)\right)}}={\dfrac {{\left(-x\right)}\cdot {f{\left(x\right)}}}{{-{\tau }}(x)}},\\f{\left(x\right)}\cdot {f{\left(\tau (x)\right)}}=-{\tau }^{-1}(x)\end{array}}\end{cases}}.$ Шаг 6 Подставим выражение ${f{\left({\tau }(x)\right)}}$ во вторую строчку системы. Итак, $f{\left(x\right)}\cdot {\dfrac {{\left(-x\right)}\cdot {f{\left(x\right)}}}{{-{\tau }}(x)}}=-{\tau }^{-1}(x)\Longleftrightarrow f{\left(x\right)}\cdot f{\left(x\right)}={\dfrac {{-{\tau }}(x)\cdot {{\tau }^{-1}{\left(x\right)}}}{x}}.$ Ответ: $f{\left(x\right)}=\pm {\sqrt {\dfrac {{-{\tau }}(x)\cdot {{\tau }^{-1}{\left(x\right)}}}{x}}}=\pm {\dfrac {1}{x}}$, или $f{\left(x\right)}={\dfrac {1}{x}}\,\&\,x\neq 0.$

Также можно применить вычислительный метод.

Пример 1. Для решения уравнения:

$f(x+y)^{2}=f(x)^{2}+f(y)^{2}$

для всех $x,y\in \mathbb {R}$ и $f:\mathbb {R} \to \mathbb {R}$, положим $x=y=0$: $f(0)^{2}=f(0)^{2}+f(0)^{2}$. Тогда $f(0)^{2}=0$ и $f(0)=0$. Далее, положив $y=-x$:

$f(x-x)^{2}=f(x)^{2}+f(-x)^{2}$

$f(0)^{2}=f(x)^{2}+f(-x)^{2}$

$0=f(x)^{2}+f(-x)^{2}$

Квадрат вещественного числа неотрицателен, и сумма неотрицательных чисел равна нулю тогда и только тогда, когда оба числа равны 0. Значит $f(x)^{2}=0$ для всех $x$ и $f(x)\equiv 0$ является единственным решением этого уравнения.

Другим методом является метод замены.

Пример 2. Решить: $f\left({\dfrac {x-3}{x+1}}\right)+f\left({\dfrac {x+3}{1-x}}\right)=x$.

Ясно, что $x\notin \left\{-1;\,1\right\}$.

Решить такое уравнение — значит отыскать функцию $f(x)$.

Введём обозначения: ${\dfrac {x-3}{x+1}}\leftrightharpoons g\left(x\right)$, а ${\dfrac {x+3}{1-x}}\leftrightharpoons h\left(x\right)$.

Тогда исходное уравнение приобретёт вид

$f\left(g\left(x\right)\right)+f\left(h\left(x\right)\right)=x.$

Функции $g\left(x\right)$ и $h\left(x\right)$ связаны равенством

$g\left(h\left(x\right)\right)=h\left(g\left(x\right)\right)=x.$

Кроме того, выполняются соотношения:

$g\left(g\left(x\right)\right)=h\left(x\right),\quad h\left(h\left(x\right)\right)=g\left(x\right).$

Значит, подставим по отдельности $g\left(x\right)$ и $h\left(x\right)$ в уравнение $f\left(g\left(x\right)\right)+f\left(h\left(x\right)\right)=x$.

Получим систему:

${\begin{cases}f\left(x\right)+f\left(g\left(x\right)\right)=h\left(x\right),\\f\left(h\left(x\right)\right)+f\left(x\right)=g\left(x\right).\end{cases}}$

Откуда будем иметь $2\cdot f\left(x\right)+f\left(g\left(x\right)\right)+f\left(h\left(x\right)\right)=g\left(x\right)+h\left(x\right)$.

Или, что то же самое, $2\cdot f\left(x\right)+x=g\left(x\right)+h\left(x\right)$.

Следовательно, $f\left(x\right)={\dfrac {g\left(x\right)+h\left(x\right)-x}{2}}={\dfrac {x^{3}+7x}{2-2x^{2}}}$ при $x\notin \left\{-1;\,1\right\}$.

Литература

• Головинский И. А. Ранняя история аналитических итераций и функциональных уравнений. // Историко-математические исследования. М.: Наука, вып. XXV, 1980, с. 25-51.
• Kuczma M. On the functional equation φn(x) = g(x). Ann. Polon. Math. 11 (1961) 161—175.
• Kuczma M. An introduction to the theory of functional equations and inequalities. Warszawa — Kraków — Katowice: Polish Scientific Publishers & Silesian University, 1985.
• Лихтарников Л. М. Элементарное введение в функциональные уравнения. СПб.: Лань, 1997.

Ссылки

• Инволюция (Викиучебник)
• Functional Equations: Exact Solutions at EqWorld: The World of Mathematical Equations.
• Functional Equations: Index at EqWorld: The World of Mathematical Equations.
• IMO Compendium text on functional equations in problem solving.