Центральный биномиальный коэффициент

В математике n-й центральный биномиальный коэффициент определяется следующим выражением в терминах биномиальных коэффициентов

${2n \choose n}={\frac {(2n)!}{(n!)^{2}}}$ для всех $n\geq 0$.

Они получили своё название в связи с тем, что они находятся в точности посередине чётных рядов в треугольнике Паскаля. Первые несколько центральных биномиальных коэффициентов выписаны ниже, начиная с n = 0:

1, 2, 6, 20, 70, 252, 924, 3432, 12870, 48620, … последовательность A000984 в OEIS

Свойства

Производящая функция:

${\frac {1}{\sqrt {1-4x}}}=1+2x+6x^{2}+20x^{3}+70x^{4}+252x^{5}+\cdots .$

По формуле Стирлинга получаем:

${2n \choose n}\sim {\frac {4^{n}}{\sqrt {\pi n}}}$ при $n\rightarrow \infty$.

Полезные ограничения:

${\frac {4^{n}}{\sqrt {4n}}}\leq {2n \choose n}\leq {\frac {4^{n}}{\sqrt {3n+1}}}$ для каждого $n\geq 1$

Если нужна большая точность:

${2n \choose n}={\frac {4^{n}}{\sqrt {\pi n}}}\left(1-{\frac {c_{n}}{n}}\right)$ где ${\frac {1}{9}}<c_{n}<{\frac {1}{8}}$ для всех $n\geq 1$.

С этим понятием тесно связаны т. н. числа Каталана, C_n. Их формула:

$C_{n}={\frac {1}{n+1}}{2n \choose n}={2n \choose n}-{2n \choose n+1}$ для каждого $n\geq 0$.

Обобщением центральных биномиальных коэффициентов можно считать числа ${\frac {\Gamma (2n+1)}{\Gamma (n+1)^{2}}}={\frac {1}{n\mathrm {B} (n+1,n)}}$, для всех действительных n, при которых выражение определено, где $\Gamma (x)$ — это Гамма-функция, а $\mathrm {B} (x,y)$ это Бета-функция.

См. также

• Предположение Эрдёша о бесквадратности

Ссылки

• Центральный биномиальный коэффициент на PlanetMath (англ)
• Биномиальный коэффициент на PlanetMath (англ)
• Треугольник Паскаля на PlanetMath (англ)
• Числа Каталана на PlanetMath (англ)