Эвольвента окружности

Эвольвентой окружности является траектория любой точки прямой линии, перекатываемой по окружности без скольжения. По эвольвенте обрабатывают профиль зубьев зубчатых колёс. Эвольвенту окружности можно получить, сматывая натянутую нить с цилиндрической поверхности. Конец этой нити будет описывать эвольвенту.

Две параллельные эвольвенты окружности — боковые части профиля в зубчатом колесе с эвольвентным зацеплением

Анимация построения эвольвенты окружности — эвольвента как разматывающаяся нить

Уравнения эвольвенты окружности

Параметрические уравнения эвольвенты окружности следующие:

$x=r(\cos \varphi +\varphi \sin \varphi \,\!),$

$y=r(\sin \varphi -\varphi \cos \varphi \,\!),$

на комплексной плоскости уравнения упрощаются:

$z=r(1-i\varphi )e^{i\varphi },$

где $r$ — радиус окружности; $\varphi$ — угол поворота радиуса окружности (полярный угол точки касания прямой и окружности).

Натуральное уравнение эвольвенты окружности, то есть зависимость кривизны от длины дуги, имеет вид: $k(s)={\frac {1}{\sqrt {2rs}}}.$

Построение эвольвенты окружности по заданному диаметру

Имеется окружность диаметра $d$ с центром в точке $O$. Данную окружность делим на двенадцать равных частей. В точках 2, 3, 4, … проводим касательные к окружности, направленные в одну сторону. Точки эвольвенты находим исходя из того, что при развёртывании окружности точка $B^{2}$ должна отстоять от точки 2 на расстоянии, равном длине дуги между точками 1 и 2, а точка $B^{3}$ должна отстоять от точки 3 на расстоянии, равном длине дуги между точками 1 и 3 (две длины предыдущей дуги), и т. д.

Точное положение точек эвольвенты получим, откладывая по касательным длины соответствующих дуг. Длину дуги между точками 1 и 2 определяем по формуле $a={\frac {\pi d}{m}},$ где $d$ — диаметр окружности, $m$ — число частей, на которое разделена окружность.

Получив ряд точек эвольвенты, соединяем их плавной линией.

В данном случае окружность диаметра $d$ является эволютой к этой эвольвенте.

Эвольвента окружности

См. также

• Эвольвента
• Эвольвентное зацепление
• Зубчатая передача

Литература

• Богданов В. Н., Малежик И. Ф., Верхола А. П. и др. Справочное руководство по черчению. — М.: Машиностроение, 1989. — С. 438-480. — 864 с. — ISBN 5-217-00403-7.
• Zwikker C. The Advanced Geometry of Plane Curves and Their ApplicationsThe Advanced Geometry of Plane Curves and Their Applications. New York: Dover Publications, Inc., 1963. 299 p. ISBN 10: 0486610780. ISBN 13: 9780486610788.