Эвольвента

Запрос «Инволюта» перенаправляется сюда. На эту тему нужно создать отдельную статью.

Эвольве́нта (от лат. evolvens, родительный падеж evolventis «разворачивающий»), или инволю́та, или развёртка, плоской кривой $L$ — это плоская кривая $L_{*}$, по отношению к которой $L$ является эволютой.

Две параллельные эвольвенты окружности — боковые части профиля в зубчатом колесе с эвольвентным зацеплением

Анимация построения эвольвенты окружности — эвольвента как разматывающаяся нить

То есть эвольвента — кривая, нормаль в каждой точке которой есть касательная к исходной кривой, иными словами, эвольвента — ортогональная траектория касательных к исходной кривой.

Эвольвента плоской кривой также может быть определена следующим образом:

• эвольвента — траектория конца натянутой нити, которая либо наматывается на исходную кривую, либо разматывается с неё (этим объясняется другое название эвольвенты «развёртка»).

Последнее определение эвольвенты проясняет следующие свойства эвольвенты:

• касательная в произвольной точке исходной кривой есть нормаль в соответствующей точке эвольвенты;
• всякая ортогональная траектория касательных к исходной кривой есть эвольвента;
• разность радиусов кривизны в двух точках эвольвенты равна длине дуги между соответствующими точками исходной кривой.

У каждой кривой бесконечно много эвольвент, которые параллельны друг другу.

Уравнения эвольвенты

Если линия $L$ задана уравнением ${\bar {r}}={\bar {r}}(s)$ (где $s$ — натуральный параметр), то уравнение её эвольвенты имеет вид

${\bar {\psi }}={\bar {r}}+(\alpha -s){\dot {\bar {r}}}$,

где $\alpha$ — произвольный параметр.

Для параметрически заданной кривой уравнение эвольвенты

$X=x-{\frac {x'\int \limits _{a}^{t}{\sqrt {x'^{2}+y'^{2}}}\,dt}{\sqrt {x'^{2}+y'^{2}}}}$

$Y=y-{\frac {y'\int \limits _{a}^{t}{\sqrt {x'^{2}+y'^{2}}}\,dt}{\sqrt {x'^{2}+y'^{2}}}}$

Примеры эвольвенты

Эвольвентой окружности является спиралевидная кривая. Её параметрические уравнения имеют следующий вид:

$x=r(\cos(t)+t\sin(t)),$

$y=r(\sin(t)-t\cos(t)),$

на комплексной плоскости уравнения упрощаются:

$z=r(1-it)e^{it},$

где $t$ — угол, a $r$ — радиус

Эвольвента цепной линии

Применения

• В технике эвольвенту окружности используют:
• как профиль зуба для колёс зубчатой передачи с эвольвентным зацеплением;
• в спиральных вакуумных насосах.

См. также

• Каустика

Литература

• Соколов Д. Д. Эвольвента // Математическая энциклопедия: Гл. ред. И. М. Виноградов, т. 5 Слу—Я. М.: «Советская Энциклопедия», 1985. 1248 стб., ил. Стб. 921—922.
• Эвольвента // Математический энциклопедический словарь / Гл. ред. Ю. В. Прохоров; Ред. Кол.: С. И. Адян, Н. С. Бахвалов, В. И. Битюцков, А. П. Ершов, Л. Д. Кудрявцев, А. Л. Онищик, А. П. Юшкевич. М.: «Советская энциклопедия», 1988. 847 с., ил. С. 640.
• Эволюта и эвольвента // Большая советская энциклопедия. (В 30 томах) Гл. ред. А. М. Прохоров. Изд. 3-е. М.: «Советская энциклопедия», 1975. Т. 29. Чаган — Экс-ле-Бен. 1978. 640 с. с илл., 22 л. илл., 6 л. карт. С. 556.
• Lawrence J. D. A Catalog of Special Plane Curves. New York: Dover Publications, Inc., 1972. 218 p.
• Zwikker C. The Advanced Geometry of Plane Curves and Their ApplicationsThe Advanced Geometry of Plane Curves and Their Applications. New York: Dover Publications, Inc., 1963. 299 p. ISBN 10: 0486610780. ISBN 13: 9780486610788.