Асимптотический анализ

Асимптотический анализ — метод описания предельного поведения функций.

Например, в функции $f(n)=n^{2}+3n$ при стремлении $n$ к бесконечности слагаемое $3n$ становится пренебрежимо малым по сравнению с $n^{2}$ , поэтому про функцию $f(n)$ говорят, что она «асимптотически эквивалентна $n^{2}$ при $n\to \infty$ », что зачастую также записывают как $f(n)\sim n^{2}$ . Примером важного асимптотического результата является теорема о распределении простых чисел. Пусть $\pi (x)$ обозначает функцию распределения простых чисел, то есть, $\pi (x)$ равна количеству простых чисел, которые меньше либо равны $x$ , тогда теорема может быть сформулирована как $\pi (x)\sim {\frac {x}{\log x}}$ .

Асимптотическое равенство править

Пусть $f(x)$ и $g(x)$ — некоторые функции. Тогда бинарное отношение $\sim$ определяется таким образом, что

f(x)\sim g(x)\quad ({\text{при }}x\to \infty )

если и только если^[1]

\lim _{x\to \infty }{\frac {f(x)}{g(x)}}=1.

Функции $f$ и $g$ при этом называются асимптотически эквивалентными, так как $\sim$ является отношением эквивалентности для функций над $x$ . Областью определения $f$ и $g$ при этом может быть любое множество, в котором имеет смысл понятие предела: вещественные числа, комплексные числа, натуральные и т. д. Те же обозначения также используются для других предельных ограничений на $x$ , таких как $x\to 0$ . Конкретный предел обычно не указывают если он понятен из контекста.

Определение выше распространено в литературе, однако оно теряет смысл если $g(x)$ принимает значение $0$ бесконечное число раз. Поэтому некоторые авторы используют альтернативное определение в терминах O-нотации:

f(x)-g(x)\in o(g(x)).

Данное определение эквивалентно приведённому выше если $g(x)$ отлично от нуля в некоторой окрестности предельной точки^[2]^[3].

Свойства править

Если $f\sim g$ и $a\sim b$ , то при некоторых естественных ограничениях верно следующее:

$f^{r}\sim g^{r}$ , для любого вещественного $r$
$\log(f)\sim \log(g)$
$f\times a\sim g\times b$
$f/a\sim g/b$

Указанные свойства позволяют свободно менять асимптотически эквивалентные функции друг на друга в некоторых алгебраических выражениях.

Примеры асимптотических формул править

Формула Стирлинга для факториалов

n!\sim {\sqrt {2\pi n}}\left({\frac {n}{e}}\right)^{n}

Количество способов разбить натуральное число $n$ в неупорядоченную сумму натуральных чисел

p(n)\sim {\frac {1}{4n{\sqrt {3}}}}e^{\pi {\sqrt {\frac {2n}{3}}}}

Функция Эйри $Ai(x)$ — решение дифференциального уравнения $y''-xy=0$

\operatorname {Ai} (x)\sim {\frac {e^{-{\frac {2}{3}}x^{\frac {3}{2}}}}{2{\sqrt {\pi }}x^{1/4}}}

Функции Ганкеля

{\begin{aligned}H_{\alpha }^{(1)}(z)&\sim {\sqrt {\frac {2}{\pi z}}}e^{i\left(z-{\frac {2\pi \alpha -\pi }{4}}\right)}\\H_{\alpha }^{(2)}(z)&\sim {\sqrt {\frac {2}{\pi z}}}e^{-i\left(z-{\frac {2\pi \alpha -\pi }{4}}\right)}\end{aligned}}

Асимптотическое разложение править

Асимптотическим разложением функции $f(x)$ называют выражение функции в виде ряда, чьи частичные суммы могут не сходиться, но при этом любая частичная сумма даёт правильную асимптотическую оценку $f$ . Таким образом, каждый следующий элемент асимптотического разложения даёт чуть более точное описание порядка роста $f$ . Другими словами, если $f=g_{1}+g_{2}+g_{3}+\dots$ — асимптотическое разложение $f$ , то $f\sim g_{1},$ $f-g_{1}\sim g_{2}$ и, в общем случае, $f-g_{1}-\cdots -g_{k-1}\sim g_{k}$ для любого $k$ . В соответствии с определением $\sim$ это значит, что $f-(g_{1}+\cdots +g_{k})=o(g_{k})$ , то есть, $f-(g_{1}+\cdots +g_{k})$ растёт асимптотически значительно медленнее $g_{k}.$

Если асимптотическое разложение не сходится, то для любого аргумента $x$ найдётся некоторая частичная сумма, которая наилучшим образом приближает функцию в этой точке, а дальнейшее добавление слагаемых к ней будет лишь уменьшать точность. Как правило, число слагаемых в такой оптимальной сумме будет увеличиваться с приближением к предельной точке.

Примеры асимптотических разложений править

Гамма-функция

{\frac {e^{x}}{x^{x}{\sqrt {2\pi x}}}}\Gamma (x+1)\sim 1+{\frac {1}{12x}}+{\frac {1}{288x^{2}}}-{\frac {139}{51840x^{3}}}-\cdots \ (x\to \infty )

Интегральная экспонента

xe^{x}E_{1}(x)\sim \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}n!}{x^{n}}}\ (x\to \infty )

Функция ошибок

{\sqrt {\pi }}xe^{x^{2}}{\rm {erfc}}(x)\sim 1+\sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n}{\frac {(2n-1)!!}{n!(2x^{2})^{n}}}\ (x\to \infty )

где (2n − 1)!! — двойной факториал.

Применения править

Асимптотический анализ используется:

В прикладной математике для построения численных методов решения уравнений.
В математической статистике и теории вероятностей для определения предельных свойств случайных величин и статистических оценок.
В информатике при анализе алгоритмов и их времени работы.
В статистической физике при анализе поведения физических систем.
В анализе катастроф при определении причин катастрофы моделированием множества катастроф в том же месте.

Асимптотический анализ является ключевым инструментом изучения дифференциальных уравнений, возникающих в математическом моделировании явлений реального мира^[4]. Как правило, применение асимптотического анализа направлено на исследование зависимости модели от некоторого безразмерного параметра, который предполагается пренебрежимо малым в масштабах решаемой задачи.

Асимптотические разложения, как правило, возникают при приближенных вычислениях некоторых интегралов (метод Лапласа, метод перевала) или распределений вероятности (ряд Эджворта). Примером расходящегося асимптотического разложения являются графы Фейнмана в квантовой теории поля.