E
ξ
k
=
∫
−
∞
+
∞
x
k
f
(
x
)
d
x
=
α
2
∫
−
∞
β
x
k
e
α
(
x
−
β
)
d
x
+
α
2
∫
β
+
∞
x
k
e
−
α
(
x
−
β
)
d
x
{\displaystyle \operatorname {E} \xi ^{k}=\int \limits _{-\infty }^{+\infty }x^{k}f(x)dx={\frac {\alpha }{2}}\int \limits _{-\infty }^{\beta }x^{k}e^{\alpha (x-\beta )}dx+{\frac {\alpha }{2}}\int \limits _{\beta }^{+\infty }x^{k}e^{-\alpha (x-\beta )}dx}
Применяя формулу интегрирования по частям несколько раз, получаем:
∫
x
k
e
α
(
x
−
β
)
d
x
=
1
α
x
k
e
α
(
x
−
β
)
−
k
α
2
x
k
−
1
e
α
(
x
−
β
)
+
k
(
k
−
1
)
α
3
x
k
−
2
e
α
(
x
−
β
)
−
{\displaystyle \int x^{k}e^{\alpha (x-\beta )}dx={\frac {1}{\alpha }}x^{k}e^{\alpha (x-\beta )}-{\frac {k}{\alpha ^{2}}}x^{k-1}e^{\alpha (x-\beta )}+{\frac {k(k-1)}{\alpha ^{3}}}x^{k-2}e^{\alpha (x-\beta )}-}
…
+
(
−
1
)
k
−
1
k
(
k
−
1
)
⋯
3
⋅
2
α
k
x
e
α
(
x
−
β
)
+
(
−
1
)
k
k
(
k
−
1
)
⋯
2
⋅
1
α
k
+
1
e
α
(
x
−
β
)
{\displaystyle \ldots +(-1)^{k-1}{\frac {k(k-1)\cdots 3\cdot 2}{\alpha ^{k}}}xe^{\alpha (x-\beta )}+(-1)^{k}{\frac {k(k-1)\cdots 2\cdot 1}{\alpha ^{k+1}}}e^{\alpha (x-\beta )}}
∫
x
k
e
−
α
(
x
−
β
)
d
x
=
−
1
α
x
k
e
−
α
(
x
−
β
)
−
k
α
2
x
k
−
1
e
−
α
(
x
−
β
)
−
k
(
k
−
1
)
α
3
x
k
−
2
e
−
α
(
x
−
β
)
−
{\displaystyle \int x^{k}e^{-\alpha (x-\beta )}dx=-{\frac {1}{\alpha }}x^{k}e^{-\alpha (x-\beta )}-{\frac {k}{\alpha ^{2}}}x^{k-1}e^{-\alpha (x-\beta )}-{\frac {k(k-1)}{\alpha ^{3}}}x^{k-2}e^{-\alpha (x-\beta )}-}
…
−
k
(
k
−
1
)
⋯
3
⋅
2
α
k
x
e
−
α
(
x
−
β
)
−
k
(
k
−
1
)
⋯
2
⋅
1
α
k
+
1
e
−
α
(
x
−
β
)
{\displaystyle \ldots -{\frac {k(k-1)\cdots 3\cdot 2}{\alpha ^{k}}}xe^{-\alpha (x-\beta )}-{\frac {k(k-1)\cdots 2\cdot 1}{\alpha ^{k+1}}}e^{-\alpha (x-\beta )}}
После подстановок пределов интегрирования:
∫
−
∞
β
x
k
e
α
(
x
−
β
)
d
x
=
1
α
β
k
−
k
α
2
β
k
−
1
+
k
(
k
−
1
)
α
3
β
k
−
2
−
{\displaystyle \int \limits _{-\infty }^{\beta }x^{k}e^{\alpha (x-\beta )}dx={\frac {1}{\alpha }}\beta ^{k}-{\frac {k}{\alpha ^{2}}}\beta ^{k-1}+{\frac {k(k-1)}{\alpha ^{3}}}\beta ^{k-2}-}
…
+
(
−
1
)
k
−
1
k
(
k
−
1
)
⋯
3
⋅
2
α
k
β
+
(
−
1
)
k
k
(
k
−
1
)
⋯
2
⋅
1
α
k
+
1
{\displaystyle \ldots +(-1)^{k-1}{\frac {k(k-1)\cdots 3\cdot 2}{\alpha ^{k}}}\beta +(-1)^{k}{\frac {k(k-1)\cdots 2\cdot 1}{\alpha ^{k+1}}}}
∫
β
+
∞
x
k
e
−
α
(
x
−
β
)
d
x
=
1
α
β
k
+
k
α
2
β
k
−
1
+
k
(
k
−
1
)
α
3
β
k
−
2
+
…
+
k
(
k
−
1
)
⋯
3
⋅
2
α
k
β
+
k
(
k
−
1
)
⋯
2
⋅
1
α
k
+
1
{\displaystyle \int \limits _{\beta }^{+\infty }x^{k}e^{-\alpha (x-\beta )}dx={\frac {1}{\alpha }}\beta ^{k}+{\frac {k}{\alpha ^{2}}}\beta ^{k-1}+{\frac {k(k-1)}{\alpha ^{3}}}\beta ^{k-2}+\ldots +{\frac {k(k-1)\cdots 3\cdot 2}{\alpha ^{k}}}\beta +{\frac {k(k-1)\cdots 2\cdot 1}{\alpha ^{k+1}}}}
Так как первый интеграл зависит от чётности k рассматриваются два случая: k — чётное и k — нечётное:
E
ξ
k
=
{
β
k
+
k
(
k
−
1
)
α
2
β
k
−
2
+
…
+
k
(
k
−
1
)
⋯
2
⋅
1
α
k
,
k
=
2
n
β
k
+
k
(
k
−
1
)
α
2
β
k
−
2
+
…
+
k
(
k
−
1
)
⋯
3
⋅
2
α
k
−
1
β
,
k
=
2
n
+
1
{\displaystyle \operatorname {E} \xi ^{k}={\begin{cases}\beta ^{k}+{\frac {k(k-1)}{\alpha ^{2}}}\beta ^{k-2}+\ldots +{\frac {k(k-1)\cdots 2\cdot 1}{\alpha ^{k}}},&k=2n\\\beta ^{k}+{\frac {k(k-1)}{\alpha ^{2}}}\beta ^{k-2}+\ldots +{\frac {k(k-1)\cdots 3\cdot 2}{\alpha ^{k-1}}}\beta ,&k=2n+1\end{cases}}}
Или, в общем виде:
E
ξ
k
=
∑
i
=
0
⌊
k
/
2
⌋
β
k
−
2
i
α
2
i
k
!
(
k
−
2
i
)
!
{\displaystyle \operatorname {E} \xi ^{k}=\sum _{i=0}^{\left\lfloor k/2\right\rfloor }{\frac {\beta ^{k-2i}}{\alpha ^{2i}}}{\frac {k!}{(k-2i)!}}}
, где
⌊
s
⌋
{\displaystyle \left\lfloor s\right\rfloor }
— целая часть s.