Теорема Колмогорова о трёх рядах

Теорема Колмогорова о трёх рядах, названная в честь Андрея Колмогорова, в теории вероятностей задает критерий сходимости с вероятностью единица бесконечного ряда случайных величин через сходимость рядов, связанных с их распределениями вероятностей. Теорема Колмогорова о трёх рядах в сочетании с леммой Кронекера может быть использована для доказательства усиленного закона больших чисел.

Определения

Пусть $c$ — некоторая константа. Тогда

$\xi ^{c}={\begin{cases}\xi ,&|\xi |\leqslant c,\\0,&|\xi |>c.\end{cases}}$

$I$ — индикатор на множестве значений случайной величины.

Формулировка теоремы

Пусть $\xi _{1},\xi _{2}...$ — последовательность независимых случайных величин. Для сходимости с вероятностью единица ряда $\sum \xi$ необходимо, чтобы для любого $c>0$ сходились ряды

$\sum \mathbb {E} \xi _{n}^{c},$

$\sum D\xi _{n}^{c},$

$\sum P(|\xi _{n}|\geqslant c)$

и достаточно, чтобы эти ряды сходились при некотором $c>0$.

Доказательство

Достаточность

По теореме о двух рядах ряд $\sum \xi _{n}^{c}$ сходится с вероятностью единица. Но если $\sum P(|\xi _{n}|\geqslant c)<\infty$, то по лемме Бореля — Кантелли с вероятностью единица $\sum I(|\xi _{n}|\geqslant c)<\infty$, а значит, $\xi _{n}=\xi _{n}^{c}$ для всех $n$, за исключением, быть может, конечного числа. Поэтому ряд $\sum \xi$ также сходится.

Необходимость

Если ряд $\sum \xi _{n}$ сходится, то $\xi _{n}\rightarrow 0$ и, значит, для всякого $c>0$ может произойти не более конечного числа событий ${|\xi _{n}|\geqslant c}$. Поэтому $\sum I(|\xi _{n}|\geqslant c)<\infty$ и по второй части леммы Бореля — Кантелли $\sum P(|\xi _{n}|\geqslant c)<\infty$. Далее, из сходимости ряда $\sum \xi _{n}$ следует и сходимость ряда $\sum \xi _{n}^{c}$. Поэтому по теореме о двух рядах каждый из рядов $\sum \mathbb {E} \xi _{n}^{c}$ и $\sum D\xi _{n}^{c}$ сходится.

Следствие

Пусть $\xi _{1},\xi _{2}...$ — независимые случайные величины с $\mathbb {E} \xi _{n}=0$. Тогда, если

$\sum \mathbb {E} {\frac {\xi _{n}^{2}}{1+|\xi _{n}|}}<\infty ,$

то ряд $\sum \xi _{n}$ сходится с вероятностью единица.

Пример

В качестве примера рассмотрим случайный гармонический ряд:

$\sum _{n=1}^{\infty }\pm {\frac {1}{n}}$

где «$\pm$» означает, что знак каждого члена $1/n$ выбран случайно, независимо, и с вероятностями $1/2$, $1/2$. Выбрав в качестве $\xi _{n}$ ряд, членами которого являются $1/n$ и $-1/n$ с равными вероятностями, легко убедиться, что он удовлетворяет условиям теоремы и сходится с вероятностью единица. C другой стороны, аналогичный ряд обратных квадратных корней со случайными знаками:

$\sum _{n=1}^{\infty }\pm {\frac {1}{\sqrt {n}}},$

расходится с вероятностью единица, так как ряд $\sum D\xi _{n}^{c}$ расходится.

Литература

• Ширяев А. Н. Вероятность. — 3-е изд., перераб. и доп.. — М.: МЦНМО, 2004. (Глава 4 § 2 раздел 1)

Ссылки

• Sun, Rongfeng. Lecture notes  (неопр.). Дата обращения: 22 сентября 2015. Архивировано из оригинала 17 апреля 2018 года.