Теорема Колмогорова — Хинчина о сходимости

Теорема Колмогорова — Хинчина о сходимости в теории вероятностей задает критерий сходимости с вероятностью единица бесконечного ряда случайных величин и может быть использована для доказательства теоремы Колмогорова о двух рядах

Формулировка теоремы

Будем предполагать, что $\xi _{1},\xi _{2}...$ последовательность независимых случайных величин, $S_{n}=\xi _{1}+\xi _{2}+...+\xi _{n}$ и $A$ — множество тех элементарных исходов $\omega$, где ряд $\sum \xi _{n}(\omega )$ сходится к конечному пределу.

Первая часть

Пусть $M\xi _{n}=0,n\geqslant 1$. Тогда, если $\sum M\xi _{n}^{2}<\infty$, то ряд $\sum \xi _{n}$ сходится с вероятностью единица.

Вторая часть

Если к тому же случайные величины $\xi _{n},n\geqslant 1$ равномерно ограничены: $P(|\xi _{n}|\leqslant c)=1,c<\infty$, то верно и обратное: из сходимости с вероятностью единица ряда $\sum \xi _{n}$ следует первая часть.

Доказательство

Первой части

Последовательность $(S_{n}),n\geqslant 1$, сходится с вероятностью единица тогда и только тогда, когда эта последовательность фундаментальна с вероятностью единица, то есть

$P\{\sup _{k\geqslant 1}|S_{n+k}-S_{n}|\geqslant \varepsilon \}\rightarrow 0,n\rightarrow \infty$

(1)

В силу неравенства Колмогорова:

$P\{\sup _{k\geqslant 1}|S_{n+k}-S_{n}|\geqslant \varepsilon \}=\lim _{n\rightarrow \infty }P\{\max _{1\leqslant k\leqslant N}|S_{n+k}-S_{n}|\geqslant \varepsilon \}\leqslant \lim _{N\rightarrow \infty }{\frac {\sum _{k=n}^{n+N}M\xi _{k}^{2}}{\varepsilon ^{2}}}={\frac {\sum _{k=n}^{\infty }M\xi _{k}^{2}}{\varepsilon ^{2}}}$

Поэтому, если $\sum _{k=1}^{\infty }M\xi _{k}^{2}<\infty$, то выполнено условие 1, следовательно, ряд $\sum \xi _{k}$ сходится с вероятностью единица.

Второй части

Пусть ряд $\sum \xi _{k}$ сходится. Тогда в силу условия 1 для достаточно больших $n$:

$P\{\sup _{k\geqslant 1}|S_{n+k}-S_{n}|\geqslant \varepsilon \}<{\frac {1}{2}}$

(2)

В силу неравенства Колмогорова $P\{\sup _{k\geqslant 1}|S_{n+k}-S_{n}|\geqslant \varepsilon \}\geqslant 1-{\frac {(c+\varepsilon )^{2}}{\sum _{k=n}^{\infty }M\xi _{k}^{2}}}$.

Поэтому, если допустить, что $\sum _{k=1}^{\infty }M\xi _{k}^{2}=\infty$, то получим

$P\{\sup _{k\geqslant 1}|S_{n+k}-S_{n}|\geqslant \varepsilon \}=1$, что противоречит неравенству 2 ${\displaystyle }$.

Литература

• Ширяев А. Н. Вероятность. — 3-е изд., перераб. и доп.. — М.: МЦНМО, 2004. (Глава 4 § 2 раздел 1)