Открыть главное меню

Аксиоматическая квантовая теория поля

Аксиоматическая квантовая теория поля — подход в квантовой теории поля, основанный на использовании физических аксиом, сформулированных в строгой математической форме.

Его достоинством является то, что он позволяет дедуктивным методом, в качестве следствий соответствующих теорем (например, теоремы о связи спина со статистикой и CPT-теоремы[1]), вывести наблюдаемые экспериментально физические следствия, вытекающие из физических представлений о пространстве-времени, сформулированных в виде математических аксиом и, таким образом, проверить сами эти исходные представления. Также он позволяет логически проверять и уточнять при необходимости исходные положения квантовой теории поля.

Его недостатком является то, что кроме теоремы о связи спина со статистикой и CPT-теоремы, из него не удаётся получить других конкретных, проверяемых на опыте, следствий (например, не удаётся построить теорию взаимодействующих полей а также нетривиальную теорию S-матрицы[1]).

В аксиоматической квантовой теории поля, как правило, используется квантовомеханическое представление Гейзенберга[2], в котором зависимость от времени описывается операторами, а векторы состояний не зависят от времени.

Содержание

Аксиомы квантовой теории поляПравить

Связь между математическими объектами и физическими наблюдаемымиПравить

Состояния физической системы описываются нормированными лучами в оснащённом гильбертовом пространстве с положительно определённой метрикой. Каждой измеряемой физической величине   ставится в соответствие самосопряжённый оператор  . Если величине   соответствует оператор  , то величине   соответствует оператор  [3][4][5].

Релятивистская инвариантностьПравить

Средние значения физических наблюдаемых   не изменяются относительно собственных преобразований Пуанкаре[2][6]. Векторы состояний преобразуются по представлениям универсальной накрывающей группы Пуанкаре (теорема Баргмана-Вигнера)[7].

Постулат локальностиПравить

Постулат локальности является выражением релятивистского принципа причинности. Измерения составляющих поля в точках, разделённых пространственно-подобным интервалом, независимы. Математически это означает, что операторы поля в точках, разделённых пространственно-подобным интервалом, либо коммутируют, либо антикоммутируют между собой[8][9][10].

  при  

Здесь знак коммутации «-» соответствует тензорному бозонному полю, знак антикоммутации «+» соответствует спинорному фермионному полю (теорема о связи спина со статистикой).

Принцип спектральностиПравить

Представление универсальной накрывающей группы Пуанкаре, которое реализуется в гильбертовом пространстве векторов состояния, разлагается на неприводимые представления лишь трёх классов[11][12]:

  •   — элементарные частицы с положительной массой.
  •   — все унитарные представления этого класса, кроме тождественного, бесконечномерны. Тождественное представление соответствует вакууму.

Здесь   — квадрат оператора четырёхмерного импульса,   — масса элементарной частицы,   — первая компонента оператора четырёхмерного импульса.

Нерешённые проблемы аксиоматической квантовой теории поляПравить

  • Основная проблема аксиоматической квантовой теории поля. Неизвестна теория, удовлетворяющая всем аксиомам аксиоматической квантовой теории поля и описывающая взаимодействующие поля и нетривиальную матрицу рассеяния[13].
  • Неизвестно описание класса обобщённых функций  , удовлетворяющих условию для двухточечной функции Уайтмана[14]: .

Подходы к построению аксиоматической квантовой теории поляПравить

Существует два основных подхода, обеспечивающих точную математическую формулировку и аксиоматизируемость квантовой теории поля: алгебраический и топологический.

Алгебраическая квантовая теория поля (AQFT)[15]Править

Функториальная квантовая теория поля (FQFT)Править

FQFT формализует картину Шредингера квантовой механики (обобщенной на квантовую теорию поля), где пространства квантовых состояний присваиваются пространству, и где линейные отображения присваиваются траекториям или пространственно-временной интерполяции между этими пространствами.

ПримечанияПравить

  1. 1 2 Боголюбов, 1969, с. 11.
  2. 1 2 Боголюбов, 1969, с. 103.
  3. Боголюбов, 1969, с. 89.
  4. Стритер, 1966, с. 137.
  5. Йост, 1967, с. 82.
  6. Йост, 1967, с. 83.
  7. Боголюбов, 1969, с. 106.
  8. Боголюбов, 1969, с. 176.
  9. Стритер, 1966, с. 139.
  10. Йост, 1967, с. 85.
  11. Боголюбов, 1969, с. 112.
  12. Стритер, 1966, с. 136.
  13. Боголюбов, 1969, с. 176,213.
  14. Боголюбов, 1969, с. 190.
  15. F. Strocchi. Relativistic Quantum Mechanics and Field Theory // Foundations of Physics. — 2004-03-01. — Т. 34, вып. 3. — С. 501–527. — ISSN 0015-9018. — DOI:10.1023/B:FOOP.0000019625.30165.35.

ЛитератураПравить

  • Боголюбов Н. Н., Логунов А. А., Тодоров И. Т. Основы аксиоматического подхода в квантовой теории поля. — М.: Наука, 1969. — 424 с.
  • Стритер Р., Вайтман А. PCT, спин и статистика и всё такое. — М.: Наука, 1966. — 251 с.
  • Йост Р. Общая теория квантованных полей. — М.: Мир, 1967. — 236 с.