Ассоциированное семейство

Ассоциированное семейство (или семейство Бонне) минимальной поверхности - является однопараметрическим семейством минимальных поверхностей, которые разделяют те же данные Вейерштрасса. То есть, если поверхность имеет представление

Анимация, показывающая изменение геликоида при изменении $\theta$.

$x_{k}(\zeta )=\Re \left\{\int _{0}^{\zeta }\varphi _{k}(z)\,dz\right\}+c_{k},\qquad k=1,2,3$

семейство описывается формулой

$x_{k}(\zeta ,\theta )=\Re \left\{e^{i\theta }\int _{0}^{\zeta }\varphi _{k}(z)\,dz\right\}+c_{k},\qquad \theta \in [0,2\pi ]$

При $\theta =\pi /2$ поверхность называется сопряжённой поверхности $\theta =0$.

Преобразование можно рассматривать как локальное вращение направлений главной кривизны. Нормали поверхности точки с фиксированным $\zeta$ остаются неизменными при изменении $\theta$. Сама точка движется по эллипсу .

Некоторые примеры ассоциированных семейств поверхностей: семейства катеноидов и геликоидов, семейства Шварца P, Шварца D и гироидов, а также семейства первой и второй поверхностей Шерка. Поверхность Эннепера сопряжена с собой — она остаётся неизменной при изменении $\theta$.

Сопряжённые поверхности имеют следующее свойство: любая прямая на поверхности отражается в планарную геодезическую линию на сопряжённой поверхности и наоборот. Если кусок поверхности ограничен прямой, то сопряжённый кусок ограничен плоской линией симметрии. Это полезно при построении минимальных поверхностей путём перехода в сопряжённое пространство: ограничение плоскостями эквивалентно ограничению многоугольником.

Имеются аналоги ассоциированным семействам минимальных поверхностей в пространствах более высокой размерности и для многообразий.