Открыть главное меню

Аттрактор Рёсслера

Аттрактор Рёсслера

Аттрактор Рёсслера — хаотический аттрактор, которым обладает система дифференциальных уравнений Рёсслера[1]:

 ;

где  — положительные постоянные. При значениях параметров и уравнения Рёсслера обладают устойчивым предельным циклом. При этих значениях параметров в системе происходит каскад удвоения периода. При возникает хаотический аттрактор. Чётко определённые линии предельных циклов расплываются и заполняют фазовое пространство бесконечным множеством траекторий, обладающим свойствами фрактала.

Сам Рёсслер изучал систему при постоянных , и , но также часто используются и значения , , и [2].

Анализ поведения системы в плоскостиПравить

Два из уравнений системы Рёсслера линейны. При они принимают вид

Поэтому устойчивость движения в плоскости определяется собственными значениями матрицы Якоби , которые равны .

Проекция аттрактора Рёсслера на плоскость при , , . Красная точка в середине спирали и черная точка внизу слева - неподвижные точки системы дифференциальных уравнений Рёсслера.


Когда , собственные значения имеют положительную вещественную часть и комплексно сопряжены. Поэтому фазовые траектории расходятся от начала координат по спирали. Теперь проанализируем изменение координаты , считая . Пока меньше , множитель в уравнении на будет удерживать траекторию близкой к плоскости . Как только станет больше , -координата начнёт расти. В свою очередь, большой параметр начнёт тормозить рост в .

Неподвижные точкиПравить

Уравнения на неподвижные точки можно найти, положив производные в системе уравнений Рёсслера равными нулю. В результате оказывается, что существует две неподвижные точки:

Как видно на изображении проекции аттрактора Рёсслера выше, одна из этих точек расположена в центре спирали аттрактора, а другая находится далеко от неё.

Изменение параметров a, b и cПравить

Поведение аттрактора Рёсслера в сильно зависит от значений постоянных параметров. Изменение каждого параметра даёт определённый эффект, в результате чего в системе может возникнуть устойчивая неподвижная точка, предельный цикл или решения системы станут "убегать" на бесконечность.

Бифуркационные диаграммы являются стандартным инструментом для анализа поведения динамических систем, в том числе и аттрактора Рёсслера. Они создаются путём решения уравнений системы, где фиксируются две переменные и изменяется одна. При построении такой диаграммы получаются почти полностью «закрашенные» регионы; это и есть область динамического хаоса.

Изменение параметра aПравить

Зафиксируем , и будем изменять .

В итоге опытным путём получим такую таблицу:
  • : Сходится к устойчивой точке.
  • : Крутится с периодом 2.
  • : Хаос (стандартный параметр уравнений Рёсслера) .
  • : Хаотичный аттрактор.
  • : Аналогичен предыдущему, но хаос проявляется сильнее.
  • : Аналогичен предыдущему, но хаос проявляется ещё сильнее.

Изменение параметра bПравить

Бифуркационная диаграмма для системы Рёсслера для меняющегося

Зафиксируем , и будем менять теперь параметр . Как видно из рисунка, при стремящемся к нулю аттрактор неустойчив. Когда станет больше и , система уравновесится и перейдёт в станционарное состояние.

Изменение параметра cПравить

Бифуркационная диаграмма для системы Рёсслера для меняющегося

Зафиксируем и будем изменять . Из бифуркационной диаграммы видно, что при маленьких система периодична, но при увеличении быстро становится хаотичной. Рисунки показывают, как именно меняется хаотичность системы при увеличении . Например при = 4 аттрактор будет иметь период равный единице, и на диаграмме будет одна единственная линия, то же самое повторится когда = 3 и так далее; пока не станет больше 12: последнее периодичное поведение характеризуется именно этим значением, дальше повсюду идёт хаос.

Приведём иллюстрации поведения аттрактора в указанном диапазоне значений , которые иллюстрируют общее поведение таких систем — частые переходы от периодичности к динамическому хаосу.

Variations in the post-transient Rössler system as '"`UNIQ--postMath-00000042-QINU`"' is varied over a range of values.

См. такжеПравить

ПримечанияПравить

  1. Peitgen, Heinz-Otto; Jürgens, Hartmut & Saupe, Dietmar (2004), "12.3 The Rössler Attractor", Chaos and Fractals: New Frontiers of Science, Springer, с. 636–646 .
  2. Letellier, C.; V. Messager. Influences on Otto E. Rössler’s earliest paper on chaos (англ.) // International Journal of Bifurcation & Chaos (англ.) : journal. — 2010. — Vol. 20, no. 11. — P. 3585—3616.

СсылкиПравить

ЛитератураПравить

  • Воронов В. К., Подоплелов А. В. Современная физика: Учебное пособие. М., КомКнига, 2005, 512 с., ISBN 5-484-00058-0, гл. 2 Физика открытых систем. п.п 2.4 Хаотический аттрактор Рёсслера.