Признак Бертрана

Признак Бертрана (де Моргана — Бертрана) — признак сходимости числовых рядов с положительными членами, установленный в 1842 году Жозефом Бертраном. В своём выводе Бертран ссылается на труд Огастеса де Моргана «The Differential and Integral Calculus», изданный в 1839 году.

Формулировка

Если существует такое $\delta >0$, что, начиная с некоторого номера $n$, выполняется неравенство

$B_{n}=\ln n\cdot \left(n\left({\frac {a_{n}}{a_{n+1}}}-1\right)-1\right)\geqslant 1+\delta ,$

то ряд $\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}$ сходится.

Если же $B_{n}\leqslant 1$, начиная с некоторого $n$, то ряд расходится.

Формулировка в предельной форме

Если существует предел:

$B=\lim _{n\to \infty }B_{n}$

то при $B>1$ ряд сходится, а при $B<1$ — расходится.

Замечание. Если $B=1$, то признак Бертрана не даёт ответа на вопрос о сходимости ряда.

Признак Бертрана чувствительнее признака Раабе и может быть использован для крайне медленно сходящихся рядов.

См. также

• Признак Раабе

Литература

• Бертрана признак — статья из Математической энциклопедии

Ссылки

• Weisstein, Eric W. Bertrand's Test (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
• http://vuz.exponenta.ru/PDF/raabe.html