Открыть главное меню

ПримерыПравить

Проверка работПравить

Допустим, профессор дал четырём студентам (назовём их A, B, C и D) контрольную, а затем предложил им проверить её друг у друга. Естественно, ни один студент не должен проверять свою контрольную. Сколько у профессора вариантов распределения контрольных, в которых ни одному студенту не достанется своя работа? Из всех 24 перестановок (4!) для возврата работ, нам подходят только 9 беспорядков:

   BADC, BCDA, BDAC,
   CADB, CDAB, CDBA,
   DABC, DCAB, DCBA.

В любой другой перестановке этих 4 элементов как минимум один студент получает свою контрольную на проверку.

Задача о письмахПравить

Вычисление количества беспорядков является популярной задачей в олимпиадной математике, которая встречается в разных формулировках таких как задача о беспорядке, задача о письмах, задача о встречах и т. д.

Если   писем случайным образом положить в   различных конвертов, то какова вероятность, что какое-нибудь из писем попадёт в свой конверт?

Ответ дается выражением

 

Таким образом, ответ слабо зависит от количества писем и конвертов и примерно равен константе  .

Количество беспорядковПравить

Количество всех беспорядков порядка n может быть вычислено с помощью принципа включения-исключения и дается выражением

 

которое называется субфакториалом числа n.

Количество беспорядков   удовлетворяет рекурсивным соотношениям

 

и

 

где   и  .

Ввиду того, что  , значение   с ростом   ведёт себя как  . Более того, при   его можно представить как результат округления числа  .

См. такжеПравить

СсылкиПравить

  • Р. Стенли. Перечислительная комбинаторика. — М.: Мир, 1990. — С. 107-108.