В теоретической физике, особенно в квантовой теории поля, часто используется бета-функция, характеризующая зависимость константы взаимодействия от энергетического уровня. Сама бета-функция определяется как

Масштабная инвариантность

править

Если бета-функция обращается в ноль при особом значении константы взаимодействия, то КТП, константа которой описывается этой бета-функцией, называется масштабно-инвариантной. Зачастую эти теории оказываются ещё и конформно-инвариантны. Такие поля изучаются конформной теорией поля.

Примеры

править

Бета-функции обычно считаются в приближении, например с помощью теории возмущений, которая предполагает, что параметры связи чрезвычайно малы. Далее выполняется разложение по степеням и обрезаются более высокие степени (обычно их называют петлями, из-за соответствующего количества петель в диаграммах Фейнмана).

Квантовая электродинамика

править

Однопетлевая бета-функция для КЭД определяется как

 

или с использованием постоянной тонкой структуры

 

Последняя формула следует из равенства

 

Решением этого уравнения является функция

 

Бета-функция говорит о том, что постоянная тонкой структуры возрастает вместе с энергетическим уровнем, она может даже обратиться в бесконечность при конечных энергиях (эти энергии называются полюсом Ландау). Как только бета-функция обращается в бесконечность, теория возмущений перестаёт работать.

Квантовая хромодинамика

править

Однопетлевая бета-функция для КХД с   ароматами кварков и   скалярными цветными бозонами

 

или

 

Решением этого уравнения является функция

 

Если  , то бета-функция убывает при увеличении энергетического уровня. Этот феномен называется асимптотической свободой.

Неабелева SU(N) калибровочная теория

править

В КХД используется калибрвочная группа  , определяющая 3 цвета. Мы можем обобщить бета-функцию для любого количества цветов N

 

или

 

Где   — инвариант Казимира второго порядка от калибровочной группы,  , где   — генераторы алгебры Ли в представлении  . Для Майорановских и Вейловских фермионов   и   заменить на   и   соответственно. Для калибровочных полей (например глюонных) в сопряжении с  ,  . Для фермионов в фундаментальном представлении  ,  . Тогда для КХД с   бета-функция принимает вид представленный выше.

Взаимодействие Юкавы

править

В стандартной модели кварки и лептоны взаимодействуя с полем Хиггса через потенциал Юкавы приобретают массу. Взаимодействия большинства кварков и лептонов мало по сравнению с взаимодействием t-кварка. В динамике их можно описать с помощью бета-функции

 

где   — цветовая константа взаимодействия, которая также является функцией энергии и обладает свойствами асимптотической свободы. Таким образом взаимодействия всех кварков кроме t-кварка чрезывчайно малы при энергиях Великого Объединения (около   ГэВ). Аналогично можно вычислить энергии при которых кварки приобретают свои массы — около 100 ГэВ. В стандартной модели предсказанная масса t-кварка 230 ГэВ, в то время как измеренная равна 174 ГэВ, что говорит о том, что возможно существуют другие Хиггсовские бозоны.

Ссылки

править
  1. Politzer H. David. Reliable Perturbative Results for Strong Interactions? (англ.) // Physical Review Letters. — 1973. — 25 June (vol. 30, no. 26). — P. 1346—1349. — ISSN 0031-9007. — doi:10.1103/PhysRevLett.30.1346.
  2. Gross David J., Wilczek Frank. Asymptotically Free Gauge Theories. I (англ.) // Physical Review D. — 1973. — 15 November (vol. 8, no. 10). — P. 3633—3652. — ISSN 0556-2821. — doi:10.1103/PhysRevD.8.3633.
  3. 't Hooft Gerard. When was asymptotic freedom discovered? or The rehabilitation of quantum field theory (англ.) // Nuclear Physics B - Proceedings Supplements. — 1999. — March (vol. 74, no. 1-3). — P. 413—425. — ISSN 0920-5632. — doi:10.1016/S0920-5632(99)00207-8.
  4. Pendleton B., Ross G.G. Mass and mixing angle predictions from infra-red fixed points (англ.) // Physics Letters B. — 1981. — January (vol. 98, no. 4). — P. 291—294. — ISSN 0370-2693. — doi:10.1016/0370-2693(81)90017-4.
  5. Hill Christopher T. Quark and lepton masses from renormalization-group fixed points (англ.) // Physical Review D. — 1981. — 1 August (vol. 24, no. 3). — P. 691—703. — ISSN 0556-2821. — doi:10.1103/PhysRevD.24.691.